高等代數(shù)北大版教案-第章線性空間

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1、高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間第六章線性空間§1集合映射一授課內(nèi)容:§1集合映射二教學(xué)目的:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運算,求和號與乘積號的定義.三教學(xué)重點:集合映射的有關(guān)定義.四教學(xué)難點:集合映射的有關(guān)定義.五教學(xué)過程:1.集合的運算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念定義:(集合的交、并、差)設(shè)S是集合,A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作A?B；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做A?B；從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集,記做AB.定義:(集合的映射)設(shè)A、B為集合.如果存在

2、法則f,使得A中任意元素a在法則f下對應(yīng)B中唯一確定的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個映射,記為f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的所有元素在f下的像構(gòu)成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)??f(a)

3、a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'),則稱f為單射.若?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,則稱f為滿射.如果f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對應(yīng).2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練,我們引進(jìn)求和號和乘積號.設(shè)給定某個

4、數(shù)域K上n個數(shù)a1,a2,?,an,我們使用如下記號:·６０·a1?a2???an??ai,a1a2?an??ai.i?1i?1nn當(dāng)然也可以寫成a1?a2???an?(2)求和號的性質(zhì)容易證明,1?i?n?ai,a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事實上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個元素排成如下形狀:a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m???anm分別先按行和列求和,再求總和即可.§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)一授課內(nèi)

5、容：§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)二教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì).三教學(xué)重點：線性空間的定義與簡單性質(zhì).四教學(xué)難點：線性空間的定義與簡單性質(zhì).五教學(xué)過程：1.線性空間的定義(1)定義4.1(線性空間)設(shè)V是一個非空集合,且V上有一個二元運算“+”(V?V?V),又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運算數(shù)量·６１·乘法“?”(K?V?V),且“+”與“?”滿足如下性質(zhì):1、加法交換律??,??V,有???????；2、加法結(jié)合律??,?,??V,有(???)?????(???)；3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????；4、存在負(fù)元,即???V,

6、存在??V,使得????0；5、“1律”1????；6、數(shù)乘結(jié)合律?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)；7、分配律?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?；8、分配律?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?,則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依賴于“+”和“?”的定義,不光與集合V有關(guān).(2)零向量和負(fù)向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題4.1零元素唯一,任意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)0與0'均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有0?0'?0?

7、0'；???V,設(shè)?,?'都是?的負(fù)向量,則??0???(?'??)????'?(???)???0??,于是命題得證.由于負(fù)向量唯一,我們用??代表?的負(fù)向量.定義4.2(減法)我們定義二元運算減法“-”如下:???定義為??(??).命題4.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):1、加法滿足消去律???????????；2、可移項???????????；3、可以消因子k???且k?0,則??1?；k4、0???0,k?0?0,(?1)????.(3)線性空間的例子·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令K??,V中加法的定義就是

8、函數(shù)的加法,關(guān)于K的數(shù)乘就是實數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構(gòu)成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關(guān)組.定義4.3(線性組合)給定V內(nèi)一個向量組?1,?2,?,?s,又給定數(shù)域K內(nèi)s個數(shù)k1,k2,?,ks,稱k1?1?k2?2???ks?s為向量組?1,?2,?,?s的一個線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個向量組?1,?2,?,?s