高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.3

《高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.3》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標(biāo)§4基變換與坐標(biāo)變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習(xí)題第六章線性空間9/16/2021數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)§6.3維數(shù)·基與坐標(biāo)9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院引入即線性空間的構(gòu)造如何？怎樣才能便于運算？問題Ⅰ如何把線性空間的全體元素表示出來？這些元素之間的關(guān)系又如何呢？（基的問題）問題Ⅱ線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西—數(shù)發(fā)生

2、聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來表達(dá)？（坐標(biāo)問題）9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系1、有關(guān)定義設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間（1）和式的一個線性組合．稱為向量組（2），若存在則稱向量　可經(jīng)向量組線性表出；使9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院若向量組　　　　　中每一向量皆可經(jīng)向量組線性表出，則稱向量組可經(jīng)向量組線性表出；若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為等價的．（3），若存在不全為零的數(shù)，使得則稱向量組　　　　　　為線性相關(guān)的；9/1

3、6/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院（4）如果向量組　　　　　不是線性相關(guān)的，即只有在　　　　　　　　　　時才成立，則稱為線性無關(guān)的．（1）單個向量　線性相關(guān)單個向量　線性無關(guān)向量組線性相關(guān)中有一個向量可經(jīng)其余向量線性表出．2、有關(guān)結(jié)論9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院（2）若向量組　　　　　　線性無關(guān)，且可被向量組　　　　　　線性表出，則若　　　　　與　　　　為兩線性無關(guān)的等價向量組，則（3）若向量組　　　　　　線性無關(guān)，但向量組線性相關(guān)，則　可被向量組線性表出，且表法是唯一的．9/

4、16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院因為，對任意的正整數(shù)n，都有n個線性無關(guān)的向量1、無限維線性空間若線性空間V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，則稱V是無限維線性空間．例1所有實系數(shù)多項式所成的線性空間R[x]是無限維的.1，x，x2，…，xn－1二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2、有限維線性空間n維線性空間；常記作dimV＝n.（1）n維線性空間：若在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量，但是任意n＋1個向量都是線性相關(guān)的，則稱V是一個注：零空間的維數(shù)定

5、義為0.dimV＝0V＝{0}9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院在n維線性空間V中，n個線性無關(guān)的向量（2）基，稱為V的一組基；下的坐標(biāo)，記為（3）坐標(biāo)設(shè)為線性空間V的一組基，則數(shù)組　　　　　　，就稱為在基若9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院有時也形式地記作注意：向量的坐標(biāo)是被向量和基唯一確定的．即向量在基　　　　　　下的坐標(biāo)唯一的.但是，在不同基下　的坐標(biāo)一般是不同的．9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院3、線性空間的基與維數(shù)的確定定理：若線性空間V中的向量

6、組滿足ⅰ）線性無關(guān)；ⅱ）　　　　　可經(jīng)　線性表出,則V為n維線性空間，　　　為V的一組基．9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證明：∵線性無關(guān)，∴V的維數(shù)至少為n．任取V中n＋1個向量　　　，由ⅱ)，向量組可用向量組若　　　　　　　是線性無關(guān)的，則n＋1≤n，矛盾．線性表出.∴V中任意n＋1個向量　　　　　　　是線性相關(guān)的．故，V是n維的，　　　就是V的一組基．9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例23維幾何空間R3＝是R3的一組基；也是R3的一組基．一般地，向量空間為n維的，就是

7、Pn的一組基．稱為Pn的標(biāo)準(zhǔn)基.9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院①n維線性空間V的基不是唯一的，V中任意n個②任意兩組基向量是等價的．例3（1）證明：線性空間P[x]n是n維的，且注意：線性無關(guān)的向量都是V的一組基．（2）證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1為P[x]n的一組基．也為P[x]n的一組基．9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院證:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是線性無關(guān)的．∴1，x，x2，…，xn－1為P[x]n的一

8、組基，從而，P[x]n是n維的.其次，可經(jīng)1，x，x2，…，xn－1線性表出．注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐標(biāo)就是此時，9/16/2021§6.3維數(shù)基坐標(biāo)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是線性無關(guān)的．又對，按泰勒展開公式有即,f(x)可經(jīng)1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1線性表出.∴