高等代數(shù)課件(北大版)第六章 線性空間§6.4

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1、§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)§3維數(shù)·基與坐標(biāo)§4基變換與坐標(biāo)變換§1集合·映射§5線性子空間§7子空間的直和§8線性空間的同構(gòu)§6子空間的交與和小結(jié)與習(xí)題第六章線性空間2021/9/4數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一、向量的形式書寫法二、基變換§6.4基變換與坐標(biāo)變換三、坐標(biāo)變換2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院引入我們知道，在n維線性空間V中，任意n個線性無關(guān)的向量都可取作線性空間V的一組基．V中任一向量在某一組基下的坐標(biāo)是唯一確定的，但是在不同基下的坐標(biāo)一般是不同的．因此在處理一些問題是時，如何選擇適當(dāng)?shù)幕刮覀?/p>

2、所討論的向量的坐標(biāo)比較簡單是一個實際的問題．為此我們首先要知道同一向量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是如何變化的.2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院一、向量的形式書寫法1、V為數(shù)域P上的n維線性空間，　　　　　為V中的一組向量，，若則記作2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院則記作2、V為數(shù)域P上n維線性空間，；為V中的兩組向量，若2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院在形式書寫法下有下列運算規(guī)律1)若線性無關(guān)，則注：2021/9/4§6.

3、4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2)；　　　　　為V中的兩組向量，矩陣，則；；；若線性無關(guān)，則2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院1、定義設(shè)V為數(shù)域P上n維線性空間，　　　　??；為V中的兩組基，若①即，二、基變換2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院則稱矩陣為由基　　　　　到基　　　　　的過渡矩陣；稱①或②為由基　　　　　到基的基變換公式．②2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2、有關(guān)性質(zhì)1）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣

4、．證明：若　　　　　　　　　　　為V的兩組基,且由基　　　　　　　　　　　的過渡矩陣為A，即又由基　　　　　　　　　　　也有一個過渡矩陣,設(shè)為B，即③④比較③、④兩個等式，有2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院都是線性無關(guān)的,即，A是可逆矩陣,且A－1＝B.反過來，設(shè)　　　　　為P上任一可逆矩陣，任取V的一組基于是有，2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院由A可逆，有即，　　　　也可由　　　　　線性表出.故　　　　　線性無關(guān)，從而也為V的一組基.并且A就是　　　　　　　　　　的過渡矩陣.2

5、）若由基　　　　　　　　　　　過渡矩陣為A,則由基　　　　　　　　　　　過渡矩陣為A-1.2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院3）若由基　　　　　　　　　　　過渡矩陣為A,由基　　　　　　　　　　　過渡矩陣為B，則由基　　　　　　　　　　　過渡矩陣為AB.事實上,若則有，2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院三、坐標(biāo)變換⑤1、定義：V為數(shù)域P上n維線性空間為V中的兩組基，且設(shè)　　且ξ在基　　　　　與基下的坐標(biāo)分別為　　　　　　與　　　　　　，2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計

6、算科學(xué)學(xué)院即，與則或⑦稱⑥或⑦為向量ξ在基變換⑤下的坐標(biāo)變換公式．⑥2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例1在Pn中，求由基到基過渡矩陣．其中解：∵的過渡矩陣及由基到基的并求向量在基下的坐標(biāo).2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院而，∴2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院到基由基的過渡矩陣為故，由基到基的過渡矩陣為2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院在基　　　　　下的坐標(biāo)就是設(shè)　在基　　　　　下的坐標(biāo)為　　　　　　，則所以　在基　　　　　下的坐標(biāo)

7、為2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院例2在P4中，求由基到基的過渡矩陣，其中2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院解：設(shè)則有或，2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院從而有2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院∴由基到基的過渡矩陣為2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院練習(xí)：已知　　的兩組基：求由基　　　　　　　　　　　　　　的過渡矩陣，并求矩陣　　　　　在基　　　　　　下的矩陣.2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計

8、算科學(xué)學(xué)院解：設(shè)A在基　　　　　　下的坐標(biāo)為2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院則即A在基　　　　　　下的坐標(biāo)為2021/9/4§6.4基變換與坐標(biāo)變換數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院