指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與題型

《指數(shù)函數(shù)性質(zhì)與題型》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、指數(shù)函數(shù)1．根式：(1)定義：若，則稱為的次方根①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作__________；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作________(a>0).(2)性質(zhì)：①；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；③當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，_______＝2．指數(shù)：(1)規(guī)定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.(2)運(yùn)算性質(zhì)：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性質(zhì)對r、R均適用.3．指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?)函數(shù)的值域?yàn)椋?)當(dāng)________時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

2、當(dāng)_______時(shí)為增函數(shù).②函數(shù)圖像：1)過點(diǎn)，圖象在；2)指數(shù)函數(shù)以為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.③函數(shù)值的變化特征：①②③①②③典型例題例1.已知a=,b=9.求：（1）（2）.解：（1）原式=.÷［a·］==a.∵a=，∴原式=3.（2）方法一化去負(fù)指數(shù)后解.∵a=∴a+b=方法二利用運(yùn)算性質(zhì)解.∵a=∴a+b=變式訓(xùn)練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2.函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)

3、=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是（）A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx)D.大小關(guān)系隨x的不同而不同解：A變式訓(xùn)練2：已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解：B例3.求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依題意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤

4、1,∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞）.∵u=,∴當(dāng)x∈（-∞，1］時(shí)，u是減函數(shù)，當(dāng)x∈［4，+∞）時(shí)，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）=3在（-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù).故f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］.（2）由g(x)=-(∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，令t=(x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-

5、2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號(hào)成立的條件是t=2,即g(x)≤9,等號(hào)成立的條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的增區(qū)間.∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減，由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增，故g(x)的單調(diào)遞

6、增區(qū)間是（-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞）.變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽.令u=6+x-2x2,則y=(.∵二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=,在區(qū)間［，+∞）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)，又函數(shù)y=(u是減函數(shù)，∴函數(shù)y=(在［，+∞）上是增函數(shù).故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為［，+∞）.（2）令u=x2-x-6,則y=2u,∵二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=,在區(qū)間［，+∞）上u=x2-x-6是增函數(shù).又函數(shù)y=2u

7、為增函數(shù)，∴函數(shù)y=2在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù).故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是［，+∞）.例4．設(shè)a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù).（1）求a的值；（2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù).（1）解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴∴（a-=0對一切x均成立，∴a-=0，而a＞0,∴a=1.（2）證明在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)=+--=(∵x1＜x2,∴有∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜

8、0,即f(x1)＜f(x2),故f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù).變式訓(xùn)練4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)=.（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù).（1）解：當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，-x∈(0,1).∵f