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《中考數(shù)學(xué)最值問題研究》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、中考數(shù)學(xué)中的幾何最值問題在近幾年各地中考中，幾何最值問題屢屢受到命題者關(guān)注，此類問題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、方程與不等式、函數(shù)知識等。因此一批立意新穎、構(gòu)造精巧、考點突出的新題、活題脫穎而出。這類試題較好地考查了同學(xué)們的幾何探究、推理能力的要求及數(shù)學(xué)思想方法的運用。本節(jié)課以近幾年的全國各地的中考題為例加以講解，希對同學(xué)們的備考有所幫助。OyxACB1．（2009年濰坊市）已知邊長為的正三角形，兩頂點分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的長的
2、最大值是____________．解：取AB的中點D，連結(jié)OD、CD、OC，則OD=，且CD⊥AB，，∴CD=，當(dāng)C，D，O三點共線時，OC=OD+CD，否則OC＜OD+CD，∴OC長的最大值是+。點評本題求一條線段的最大值，關(guān)鍵是抓住斜邊長度確定，斜邊上的中線長也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解。2．（2008年蘭州）如圖，在中，，經(jīng)過點且與邊相切的動圓與分別相交于點，則線段長度的最小值是（）A．B．C．5D．4.8解：易知⊿ABC是直角三角形，所以EF是圓的直徑，設(shè)切點是D，因為直徑是圓中最長的
3、弦，所以EF≥CD，作CH⊥AB于點H，則CD≥CH，所以有EF≥CH，即長度的最小值是CH，利用面積方法易得CH=4.8。所以線段長度的最小值是4.8，故選D。點評本題求一條線段的最小值，通過轉(zhuǎn)化后利用垂線段最短求解。3．（2009年四川達(dá)州）在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△8PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）。解：B、Q在直線AC同側(cè)，動點P只能在AC上運動。⊿PBQ中，B、Q為定點，故BQ長度不變，要使⊿PBQ周長最小，
4、應(yīng)使動點P到兩定點B、Q之和PB+PQ最小。直線AC是正方形的對稱軸，點Q關(guān)于對角線AC的對稱點Q′一定落在邊CD上，如圖所示，當(dāng)B、P、Q′共線時PB+PQ=PB+PQ′=BQ′=取最小值，則△PBQ周長的最小值為+1。點評本題有一定的難度，△PBQ周長的最小值問題轉(zhuǎn)為求一個動點到兩個定點的距離和的最小值問題，通過作對稱點的方法，當(dāng)三點共線時，兩條線段和△PBQ周長的最小。4．（2010年蘇州）如圖，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，線段D
5、A與y軸交于點E，則△ABE面積的最小值是（）A．2B．1C．D．解：當(dāng)AD為⊙C的切線，切點為D時，OE最長，BE最短，此時⊿ABE面積最小，易證⊿AOE∽⊿ADC，所以，可求得OE=，于是BE=2-，從而△ABE面積的最小值是。選D。點評本題求面積的最小值，由于三角形的高確定，因此只要求底（即一條線段）的最小值即可，根據(jù)圓的性質(zhì)，易知AD處于極端位置（切線）時，所求三角形的面積最小。5．（2010年天津市）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B8分別在軸、軸的正半軸上，，，D為邊OB的中點.（1）若為
6、邊上的一個動點，當(dāng)△的周長最小時，求點的坐標(biāo)；（2）若、為邊上的兩個動點，且，當(dāng)四邊形的周長最小時，求點、的坐標(biāo).溫馨提示如圖可以作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E，△的周長是最小的。這樣，你只需要求出OE的長，就可以確定點E的坐標(biāo)了。yBODCAxEyBODCAx解：（1）如圖，作點D關(guān)于軸的對稱點，連接與軸交于點E，連接.yBODCAxE若在邊上任取點（與點E不重合），連接、、.由，可知△的周長最小.∵在矩形中，，，為的中點，∴，，.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△，有.∴.∴點的坐標(biāo)為（1，0）.（
7、2）如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，在邊上截取，連接與軸交于點，在上截取.yBODCAxEGF∵GC∥EF，，∴四邊形為平行四邊形，有.又、的長為定值，∴此時得到的點、使四邊形的周長最小.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△,有.∴.∴.∴點的坐標(biāo)為（，0），點的坐標(biāo)為（，0）點評本題（1）有一個溫馨提示，而問題（2）要使四邊形CDEF的周長最小，注意到DC、EF的長為定值，故只需DE+CF最小，用軸對稱及平移方法設(shè)法將DE、CF集中到一條直線上解決問題。6．（2009年郴州市）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點M（－
8、2，－1），且P（－1，－2）為雙曲線上的一點，Q為坐標(biāo)平面上一動點，PA垂直于x軸，QB8垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）如
