中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題研究.docx

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1、中考數(shù)學(xué)中的幾何最值問(wèn)題在近幾年各地中考中，幾何最值問(wèn)題屢屢受到命題者關(guān)注，此類(lèi)問(wèn)題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、方程與不等式、函數(shù)知識(shí)等。因此一批立意新穎、構(gòu)造精巧、考點(diǎn)突出的新題、活題脫穎而出。這類(lèi)試題較好地考查了同學(xué)們的幾何探究、推理能力的要求及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。本節(jié)課以近幾年的全國(guó)各地的中考題為例加以講解，希對(duì)同學(xué)們的備考有所幫助。．（2009年濰坊市）已知邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)1系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是___

2、_________．解：取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)OD、CD、OC，則OD=1a，且CD⊥2yCAB，，∴CD=3a，當(dāng)C，D，O2B三點(diǎn)共線時(shí)，OC=OD+CD，否則OC＜OD+CD，∴OC長(zhǎng)的最大值是x1a+3a。OA22點(diǎn)評(píng)本題求一條線段的最大值，關(guān)鍵是抓住斜邊長(zhǎng)度確定，斜邊上的中線長(zhǎng)也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解。．（2008年蘭州）如圖，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB2相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8解：易知⊿

3、ABC是直角三角形，所以EF是圓的直徑，設(shè)切點(diǎn)是D，因?yàn)橹睆绞菆A中最長(zhǎng)的弦，所以EF≥CD，作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CD≥CH，所以有EF≥CH，即EF長(zhǎng)度的最小值是CH，利用面積方法易得CH=4.8。所以線段EF長(zhǎng)度的最小值是4.8，故選D。BBHDDEECACFAF點(diǎn)評(píng)本題求一條線段的最小值，通過(guò)轉(zhuǎn)化后利用垂線段最短求解。3．（2009年四川達(dá)州）在邊長(zhǎng)為2㎝的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________㎝（結(jié)果不取近似值）。1ADPQ'BCQ解：B、Q在

4、直線AC同側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P只能在AC上運(yùn)動(dòng)。⊿PBQ中，B、Q長(zhǎng)度不變，要使⊿PBQ周長(zhǎng)最小，應(yīng)使動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)B、Q之和PB+PQ直線AC是正方形的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′一定落在邊為定點(diǎn)，故BQ最小。CD上，如圖所示，當(dāng)B、P、Q′共線時(shí)PB+PQ=PB+PQ′=BQ′=5取最小值，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為5+1。點(diǎn)評(píng)本題有一定的難度，△PBQ周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)為求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和的最小值問(wèn)題，通過(guò)作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段和△PBQ周長(zhǎng)的最小。4．（2010年蘇州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，

5、0)、(0，2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（）A．2B．1C．22．22D2解：當(dāng)AD為⊙C的切線，切點(diǎn)為D時(shí)，OE最長(zhǎng)，BE最短，此時(shí)⊿ABE面積最小，易證⊿AOE∽⊿ADC，所以O(shè)EAO，可求得OE=2，于是BE=2-2，從而△ABE面積的CDAD22最小值是122222。選D。222點(diǎn)評(píng)本題求面積的最小值，由于三角形的高確定，因此只要求底（即一條線段）的最小值即可，根據(jù)圓的性質(zhì)，易知AD處于極端位置（切線）時(shí)，所求三角形的面積最小。5．（2010年

6、天津市）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA3，OB4，D為邊OB的中點(diǎn).2（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).如圖可以作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E，△CDE的溫馨提示周長(zhǎng)是最小的。這樣，你只需要求出OE的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn)E的坐標(biāo)了。yCyCBBDDOEAxOAxD解：（1）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD與x軸交于點(diǎn)E，連接

7、DE.若在邊OA上任取點(diǎn)E（與點(diǎn)E不重合），連接CE、DE、DE.由DECEDECECDDECEDECE，y可知△CDE的周長(zhǎng)最小.BC∵在矩形OACB中，OA3，OB4，D為OB的中點(diǎn)，∴BC3，DODO2，DB6.∵OE∥BC，D∴Rt△DOE∽R(shí)t△DBC，有OEDO.BCDBOEEAxDOBC231.∴OEDB6D∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）.（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，在CB邊上截取CG2，連接DG與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取EF2.∵GC∥EF，GCEF，y∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GECF.又DC、EF的長(zhǎng)為定值，

8、BGC∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.∵OE∥BC，∴Rt△DOE∽R(shí)t△DBG,有OEDO.DBGDB∴OEDOBGDO(BCCG)211.OEFAxDBDB6