最短路徑問(wèn)題

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1、最短路徑問(wèn)題姓名類型一、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小的問(wèn)題：1.一條直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。作法：連接兩個(gè)定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。例1、如圖，在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最?。鞣ǎ哼B接AB，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說(shuō)明：∵連接A、B兩點(diǎn)的線中，線段最短?！噙B接AB，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小=AB2.一條直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之和最小，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。方法：利用軸對(duì)稱變換將直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，用例1的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例2、如圖，在

2、直線上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最?。鞣ǎ孩僮鼽c(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’；②連接A’B，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說(shuō)明：連接AP、AA’，∵點(diǎn)A和點(diǎn)A’關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是AA’的垂直平分線，∴PA=PA’，∵兩點(diǎn)之間，線段最短?！啻藭r(shí)PA+PB最小=PA’+PB=AB。類型二、一條直線外兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大的問(wèn)題：1.一條直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例3、在直線上求一點(diǎn)P，使的值最大．作法：連接AB，并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。證明：在直線上另取一點(diǎn)P’，連接P’A和P’B，∵三角形的兩邊之差大于第三邊，∴；而連接AB，

3、并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，此時(shí)，2.一條直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)到直線上一動(dòng)點(diǎn)距離之差最大，確定動(dòng)點(diǎn)的位置。方法：利用軸對(duì)稱變換將直線異側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)“三角形的兩邊之差大于第三邊”，用例3的方法確定動(dòng)點(diǎn)的位置。例4、如圖，在直線上求一點(diǎn)P，使的值最大．作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B’，②連接AB’，并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。說(shuō)明：連接AP、AA’，∵點(diǎn)A和點(diǎn)A’關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是AA’的垂直平分線∴PA=PA’，若在直線上另取一點(diǎn)P’，連接P’A和P’B，∵三角形的兩邊之差大于第三邊，∴∴此時(shí)總結(jié)：“同側(cè)差最大，異側(cè)和最?。晃恢貌粷M足，對(duì)稱后再看；三

4、點(diǎn)共線找交點(diǎn)”。類型三、兩條直線之間的區(qū)域內(nèi)有一定點(diǎn)，兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)，要使連接這三點(diǎn)所得的三角形周長(zhǎng)最小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。4例5、如圖，在直線上分別求點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最?。椒ǚ治觯豪幂S對(duì)稱，將定點(diǎn)P分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線的另一側(cè)），再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接點(diǎn)P的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。作法：①分別作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);說(shuō)明：連接MP、NP，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP1的垂直平分線，∴MP=MP1，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P2關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP2的垂直平分線，∴NP=NP2，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴此時(shí)PM+MN

5、+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2類型四、兩條直線的之間有兩個(gè)定點(diǎn)，兩直線上各有一動(dòng)點(diǎn)，要使連接這四點(diǎn)所得的四邊形周長(zhǎng)最小，確定兩動(dòng)點(diǎn)的位置。例1、在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小.方法分析：利用軸對(duì)稱，將兩個(gè)定點(diǎn)P、Q分別轉(zhuǎn)化到兩直線所夾區(qū)域的外部去（即直線的另一側(cè)），一側(cè)一個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，連接點(diǎn)P、Q的對(duì)稱點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。作法：①作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn);②作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；說(shuō)明：連接MP、NQ，∵點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是PP1的垂直平分線，∴MP=MP1，∵點(diǎn)Q和點(diǎn)Q1關(guān)于直線對(duì)稱，∴直線是QQ1的垂直

6、平分線，∴NQ=NQ1，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴此時(shí)PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1例2、如圖，牧童星期天從A處趕了幾只羊到草地放羊，然后趕到小河飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)牧童趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一條最短的路線標(biāo)明放羊與飲水的位置。4類型五、架橋修路距離最短的問(wèn)題1、兩條平行線之間的距離為d，直線外有異側(cè)兩定點(diǎn)A、B，在上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，試確定動(dòng)點(diǎn)M、N的位置。作法：①?gòu)狞c(diǎn)A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A’）②連接A’B，交直線n于點(diǎn)N，③作NM⊥m于M，M、N即為所求

7、。說(shuō)明：連接AM、BN，此時(shí)，AA’平行且等于MN，四邊形AA’NM是平行四邊形，AM=A’N，，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。例1、如圖，從A地到B地經(jīng)過(guò)一條小河（兩岸平行），今要在河上建一座橋（橋與河岸垂直），應(yīng)如何選擇橋的位置才能使A到B的路程最短?例2、荊州護(hù)城河在CC＇處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，需經(jīng)過(guò)兩座橋DD＇、EE＇，護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直．如何確定兩座橋的位置，可使A到B點(diǎn)路徑最短？2、一條直線a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在N的左邊），