定積分的換元積分法與分部積分法(2)

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1、章節(jié)名稱5-4定積分的換元積分法與分部積分法授課方式講授法授課時數(shù)4授課方法和手段啟發(fā)法和師生互動法教學(xué)目的及要求教學(xué)目的；掌握定積分換元積分法與分部積分法教學(xué)要求；.理解換元積分法與分部積分法意義；熟記平面圖形面積的計算公式教學(xué)基本內(nèi)容綱要教學(xué)重點難點教學(xué)重點；定積分換元條件的掌握教學(xué)難點：換元積分法與分部積分法5教學(xué)過程設(shè)計由牛頓－萊布尼茨公式可知，定積分的計算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)．在上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因此，換元積分法與分部積分法對于定積分的計算也是非常重要的．一、定積分的換元積分法定理假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；函數(shù)滿足(1

2、)，(2)當(dāng)?shù)闹翟谏线B續(xù)可導(dǎo)，則有．　　　　　　　　　　證.設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則左端==F(b)-F(a)另一方面，據(jù)導(dǎo)數(shù)的鏈鎖法則有F[φ(t)]=F'[φ(t)]φ'(t)=F'(x)φ'(t)=f(x)φ'(t)=f[φ(t)]φ'(t)故F[φ(t)]是右端被積函數(shù)f[φ(t)]φ'(t)的一個原函數(shù),由微積分基本定理,右端=F[φ(t)]=F[φ(β)]-F[φ(α)]=F(b)-F(a).這就證明了定理．注.應(yīng)用上述定理計算定積分時，最重要的一點是注意積分系．即下限a對應(yīng)著下限α,上限b對應(yīng)著上限β，不管它們的大小關(guān)系如何．定積分與不定積分的換元差

3、別在于：不定積分的結(jié)果是函數(shù)，積分變量(自變量)應(yīng)回代到原變量；而定積分的結(jié)果是數(shù)值，就不必回代成原變量后再代入原來的上下限，只要按新變量的對應(yīng)上下限代入計算即可．例5.4.1計算．解令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故圖5－8．5教學(xué)過程設(shè)計例二計算．解由于作代換，且當(dāng)時，。當(dāng)時，。==例三計算解：設(shè)，則原式例四設(shè)在上連續(xù)，證明：(1)若為奇函數(shù)，則；(2)若為偶函數(shù)，則．證由于,對上式右端第一個積分作變換，有．故．故．(1)當(dāng)為奇函數(shù)時，，故．(2)當(dāng)為偶函數(shù)時，，故二．定積分的分部積分法5教學(xué)過程設(shè)計設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得．等式兩邊同時在區(qū)間上積分，有公

4、式稱為定積分的分部積分公式，其中與是自變量的下限與上限例五計算．解：=例5.4.7計算．解：．即例5.4.8計算．解先用換元法，令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．于是．再用分部積分法，得．作業(yè)討論輔導(dǎo)P-152第一題第二題中2、4、6第三題1、3、5參考資料5課后小結(jié)1．定積分換元積分定理：假設(shè)(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)在變化時，的值在上變化，且．則有．2．定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有5