定積分及換元積分法與分部積分法

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1、定積分的換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：掌握定積分換元積分法與分部積分法難　　點：定積分換元條件的掌握重　　點：換元積分法與分部積分法由牛頓－萊布尼茨公式可知，定積分的計算歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)．在上一章中，我們已知道許多函數(shù)的原函數(shù)需要用換元法或分部積分法求得，因此，換元積分法與分部積分法對于定積分的計算也是非常重要的．1．定積分換元法定理假設(shè)(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)且不變號的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)在變化時，的值在上變化，且，則有?。　　　　　　　　　　?1)本定理證明從略．在應(yīng)用時必須注意變換應(yīng)滿足定理的條件，在改變積分變量的

2、同時相應(yīng)改變積分限，然后對新變量積分．例1計算．解令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．于是．例2計算．a(chǎn)aOxy解令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故圖5－8．顯然，這個定積分的值就是圓在第一象限那部分的面積(圖5－8)．例3計算．解法一令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，于是．解法二也可以不明顯地寫出新變量，這樣定積分的上、下限也不要改變．即．此例看出：定積分換元公式主要適用于第二類換元法，利用湊微分法換元不需要變換上、下限．例4計算．解注去絕對值時注意符號．===．例5計算．解設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．=．例6設(shè)在上連續(xù)，證明：(1)若為奇函數(shù)，則；(2)若為偶函數(shù)，則．證由于,對上

3、式右端第一個積分作變換，有．故．(1)當(dāng)為奇函數(shù)時，，故．(2)當(dāng)為偶函數(shù)時，，故．利用例6的結(jié)論能很方便地求出一些定積分的值．例如．．2．定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則，可得．等式兩邊同時在區(qū)間上積分，有．(2)公式(2)稱為定積分的分部積分公式，其中與是自變量的下限與上限．例7計算．解令，則．故．例8計算．解．例9計算．解====．例10計算．解．即注移項得．故．例11計算．解先用換元法，令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．于是．再用分部積分法，得．小結(jié)：1．定積分換元積分定理：假設(shè)(1)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上有連

4、續(xù)且不變號的導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)在變化時，的值在上變化，且．則有．2．定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)與均在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有．