第16章 含參量積分.doc

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1、第十六章含參量積分關(guān)于積分理論，我們已經(jīng)學(xué)過一元函數(shù)的積分理論：包括常義積分（積分限有限、被積函數(shù)有界）和廣義積分，其積分變量和被積函數(shù)的變量一樣，都是一個(gè)。但在各技術(shù)領(lǐng)域，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的積分：對(duì)一個(gè)變量的積分還與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，如天體力學(xué)中常遇到的橢圓積分：，從形式可以看出，積分變量為，積分過程結(jié)果依賴于，此時(shí)稱為積分過程中的參量。顯然，若將視為一個(gè)變?cè)?，記為一個(gè)二元函數(shù)，則上述積分只涉及其中的一個(gè)變量，將另一個(gè)變量視為參量，像這種積分形式在工程技術(shù)領(lǐng)域還有很多。因此，為解決相應(yīng)的技術(shù)問題，必須先在數(shù)學(xué)上進(jìn)行研究，這就是本章的內(nèi)容：含參變量

2、的積分，包括：常義積分和廣義積分兩部分，由于這種積分形式的被積函數(shù)是多元函數(shù)，因此，多元函數(shù)理論為參變量積分的研究提供了理論基礎(chǔ)?！?含參變量的常義積分只考慮一個(gè)參量的含參量積分，因此，被積函數(shù)是二元函數(shù)。設(shè)在，此時(shí)是為關(guān)于的一元連續(xù)函數(shù)，因而可積。考慮其積分，顯然其與有關(guān)，記為，更一般，引入，稱其為含參變量的積分。注：由此可看出：含參量的積分結(jié)果是一個(gè)關(guān)于參變量的函數(shù)，由此就決定了含參量積分的研究?jī)?nèi)容：不僅在于計(jì)算，還要研究其分析性質(zhì)。更進(jìn)一步的，將其分析性質(zhì)應(yīng)用于含參量的計(jì)算，由此帶來(lái)了積分計(jì)算的新方法：通過引入?yún)⒆兞?，將一個(gè)一般積分轉(zhuǎn)化

3、為含參量的積分，通過含參量積分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算含參量的積分，最后取特定的參量值計(jì)算出原積分。為此，先研究含參量積分的分析性質(zhì)。定理1：（連續(xù)性）設(shè)，則。分析：在不能利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到連續(xù)性的情況下，需利用定義證明函數(shù)的連續(xù)性，這是處理這類問題的一般方法。證明：任取，取，使，只須證：。事實(shí)上，由于：（要使，只須充分小，形式上看：只須利用在點(diǎn)的連續(xù)性，但實(shí)際不僅如此，更要用到一致連續(xù)性。因?yàn)?，僅僅利用在點(diǎn)或（x,）的連續(xù)性，對(duì)任意的，得到的不僅與有關(guān)，還與有關(guān)，因而，不能保證在整個(gè)積分區(qū)間[a,b]上都有；同時(shí)，在證明點(diǎn)的連續(xù)性時(shí)，只允許。）由

4、于，因而，f(x,y)在D上一致連續(xù)，故，對(duì)任意的>0，存在，使得當(dāng)時(shí)，成立，因而，當(dāng)時(shí)，成立，故，所以，在點(diǎn)的連續(xù)性，由的任意性得，。注：結(jié)論表明：極限和積分運(yùn)算可以換序：。定理2：（可微性）設(shè)，，則且，即微分與積分運(yùn)算可以換序。分析：證明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定義驗(yàn)證即可。證明：任取，及，使，由中值定理，，其中，。由定理1，則。更進(jìn)一步討論變限的含參量積分，記。定理3：若，，且，則。證明：任取，取，使，由于。由于，因而有界，不妨設(shè)，又且類似定理1的證明得，對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)成立，，，因而，。故，。定理4：設(shè)，且，則，且：。

5、證明：，利用中值定理，存在()使得。.定理得證。上面討論了含參量積分的連續(xù)性和可微性，從運(yùn)算角度看，這些性質(zhì)給出了兩種運(yùn)算間的可換序性，在相關(guān)的運(yùn)算中有非常重要的作用（見后面的例子）。下面的結(jié)論表明了含參量積分的積分運(yùn)算的可換序性。由此給出積分計(jì)算的一種新方法，為此，考慮由一個(gè)二元函數(shù)給出的兩個(gè)含參量積分的形式，事實(shí)上，設(shè)，則可引入兩個(gè)含參量積分：，顯然：，因而可積，考慮二者的積分。分析這兩個(gè)積分：被積函數(shù)都是，積分順序不同，因而是函數(shù)在區(qū)域D上的兩個(gè)不同順序的積分，也是后面多重積分理論中的累次積分。自然要考慮這樣的問題：二者是否相等，即：累

6、次積分是否可換序。定理5：（積分換序性），設(shè)，則。即兩個(gè)累次積分可以換序。分析：采用一種特殊的方法：將其轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)函數(shù)相等，這是一個(gè)新的思想，要求掌握。證明：記，，下證：，特別有，為此，先證：。由于，故：。同樣，對(duì)，記，則，故：，因而。所以，。令，得。因此：，，特別：。應(yīng)用：重點(diǎn)討論在積分計(jì)算中的應(yīng)用。例1：設(shè)，計(jì)算解：由公式：。例2：計(jì)算分析：兩種運(yùn)算是否可換序：含參量積分的連續(xù)性定理。解：記，則，因而：，故，。注：這類題目通常要求確定參量的活動(dòng)區(qū)間，技巧是，在極限點(diǎn)附近取充分小的區(qū)間，滿足定理要求的條件即可。例3：計(jì)算。解：令，則，因

7、而：。例4：計(jì)算分析：通過例子熟悉含參量積分在積分計(jì)算中的運(yùn)用。解：取，記，則在上連續(xù)。故：利用萬(wàn)能公式，因而，求積分得，又，則，故。注：利用含參量積分的求導(dǎo)理論計(jì)算定積分，從計(jì)算思想上看和分部積分法相同，即通過求導(dǎo)，改變被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，使之簡(jiǎn)單化，便于計(jì)算；但是，與分部積分的求導(dǎo)對(duì)象不同，因而，是采用了不同的求導(dǎo)方式來(lái)改變積分結(jié)果，因此，這兩種方法在處理復(fù)雜類型的定積分時(shí)都是有效的方法。如本例用分部積分法將積分轉(zhuǎn)變?yōu)橄率龇e分計(jì)算，，而后者可以利用定積分公式來(lái)計(jì)算。但對(duì)有些例子來(lái)說(shuō)，能用含參量積分的求導(dǎo)理論來(lái)計(jì)算的，不一定能用定積分理論的分部

8、積分法來(lái)計(jì)算。例4：計(jì)算分析：此類題目較難：難在其一：看似是一個(gè)正常的定積分，但利用定積分的計(jì)算技術(shù)（常規(guī)）無(wú)法解決；其二：由于其一，必須引入新的計(jì)算方法：含參量積