概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

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1、1數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)其它數(shù)字特征第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。問(wèn)題的提出：3例：在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度；考察杭州市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度。4試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?例:誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手5解：計(jì)算甲的平均成績(jī)：計(jì)算乙的平均成績(jī)：所以甲的成績(jī)

2、好于乙的成績(jī)。6定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為若級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)的值為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即4.1數(shù)學(xué)期望(一)數(shù)學(xué)期望定義7定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分則稱積分的值為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。8例1.1澳門(mén)賭場(chǎng)猜大小游戲中有買(mǎi)4點(diǎn)的游戲，游戲規(guī)則如下，擲3顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和為4賭場(chǎng)輸，賭場(chǎng)賠率1賠50,否則其押金歸賭場(chǎng)所有,問(wèn)此規(guī)則對(duì)賭場(chǎng)還是賭客更有利?9解：顯然賭客猜中4點(diǎn)的概率為3/216=1/72.設(shè)一賭客押了1元,那么根據(jù)規(guī)

3、則,他贏50元的概率為1/72,輸1元的概率為71/72.因此經(jīng)過(guò)一次賭博,他能"期望"得到的金額為:所以對(duì)賭場(chǎng)有利.10例1.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為證明X不存在數(shù)學(xué)期望.證明:由于即該無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的，由數(shù)學(xué)期望定義知，X不存在數(shù)學(xué)期望.11例1.3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為證明X不存在數(shù)學(xué)期望.證明:由于由數(shù)學(xué)期望定義知，X不存在數(shù)學(xué)期望.1213141516例1.7某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品,其壽命(單位:年)服從指數(shù)分布,概率密度函數(shù)為若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為350元,出售價(jià)格為500元,并向顧客

4、承諾,如果售出一年之內(nèi)發(fā)生故障,則免費(fèi)調(diào)換一件;如果在三年之內(nèi)發(fā)生故障,則予以免費(fèi)維修,維修成本為50元.在這樣的價(jià)格體系下,請(qǐng)問(wèn):該廠每售出一件產(chǎn)品,其平均凈收入為多少?17解：記某件產(chǎn)品壽命為X(年),售出一件產(chǎn)品的凈收入為Y(元)，則由于X服從指數(shù)分布，那么18即Y的分布律為Y-200100150p因此售出一件產(chǎn)品的平均凈收入為19(二)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望20定理的重要意義在于，求E(Y)時(shí)，不必算出Y的分布律或概率密度函數(shù)，只利用X的分布律或概率密度函數(shù);可以將定理推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨

5、機(jī)變量的函數(shù)的情況.21222324例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：求E(X),E(XY).25例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：求E(X),E(XY).26例1.10某商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都~U[10,20].商店每售出一單位商品可獲利1萬(wàn)元，若需求量超過(guò)進(jìn)貨量，商店可從其他處調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品獲利0.5萬(wàn)元；求商店經(jīng)銷該商品每周所獲利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.2728例1.11設(shè)按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)產(chǎn)品的銷售量X(單位:噸)服從[5,

6、10]上的均勻分布.若銷售出一噸產(chǎn)品可盈利C1=2萬(wàn)元;但若在銷售季節(jié)未能售完,造成積壓,則每噸產(chǎn)品將會(huì)凈虧損C2=0.5萬(wàn)元.若該廠家需要提前生產(chǎn)該種商品,為使廠家能獲得最大的期望利潤(rùn),問(wèn):應(yīng)在該季生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品最為合適?29解：設(shè)應(yīng)在該季生產(chǎn)a噸產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)為Y萬(wàn)元，則Y依賴于銷售量X及產(chǎn)量a，3031(三)數(shù)學(xué)期望的特性1.設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C,2.設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有E(CX)=CE(X),3.設(shè)X,Y是隨機(jī)變量,則有E(X+Y)=E(X)+E(Y),合起來(lái)為E(aX+b

7、Y+c)=aE(X)+bE(Y)+c.推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合：324.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立隨機(jī)變量,則有E(XY)=E(X)E(Y),推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之積：33下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明證明：34353637例1.13一專用電梯載著12位乘客從一層上升，最高11層.假設(shè)中途沒(méi)有乘客進(jìn)入，每位乘客獨(dú)立等概率地到達(dá)各層.如果沒(méi)有乘客到達(dá)某層樓，電梯在該層就不停.記電梯停留次數(shù)為X，求E(X).(設(shè)電梯到達(dá)11層后乘客全部下完)38解：引入隨機(jī)變量：39本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)

8、變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。40414.2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。方差─正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。42(一)方差的定義定義設(shè)X是隨機(jī)變量，