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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章 隨機變量的數(shù)字特征》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第四章隨機變量的數(shù)字特征前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們知道分布函數(shù)全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計特性.但是在實際問題中，一方面由于求分布函數(shù)并非易事；另一方面，往往不需要去全面考察隨機變量的變化情況而只需知道隨機變量的某些特征就夠了.例如，在考察一個班級學(xué)生的學(xué)習(xí)成績時，只要知道這個班級的平均成績及其分散程度就可以對該班的學(xué)習(xí)情況作出比較客觀的判斷了.這樣的平均值及表示分散程度的數(shù)字雖然不能完整地描述隨機變量，但能更突出地描述隨機變量在某些方面的重要特征，我們稱它們?yōu)殡S機變量的數(shù)字特征.本章將介紹隨機變量的
2、常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩.第一節(jié)數(shù)學(xué)期望1.數(shù)學(xué)期望的定義粗略地說，數(shù)學(xué)期望就是隨機變量的平均值.在給出數(shù)學(xué)期望的概念之前，先看一個例子.要評判一個射手的射擊水平，需要知道射手平均命中環(huán)數(shù).設(shè)射手A在同樣條件下進行射擊，命中的環(huán)數(shù)X是一隨機變量，其分布律如下：表4-1X10987650pk0.10.10.20.30.10.10.1由X的分布律可知,若射手A共射擊N次,根據(jù)頻率的穩(wěn)定性,所以在N次射擊中,大約有0.1×N次擊中10環(huán),0.1×N次擊中9環(huán),0.2×N次擊中8環(huán),0.3×N次擊
3、中7環(huán),0.1×N次擊中6環(huán),0.1×N次擊中5環(huán),0.1×N次脫靶.于是在N次射擊中，射手A擊中的環(huán)數(shù)之和約為10×0.1N+9×0.1N+8×0.2N+7×0.3N+6×0.1N+5×0.1N+0×0.1N.平均每次擊中的環(huán)數(shù)約為（10×0.1N+9×0.1N+8×0.2N+7×0.3N+6×0.1N+5×0.1N+0×0.1N）=10×0.1+9×0.1+8×0.2+7×0.3+6×0.1+5×0.1+0×0.1=6.7(環(huán)).由這樣一個問題的啟發(fā)，得到一般隨機變量的“平均數(shù)”，應(yīng)是隨機變量所有可能取
4、值與其相應(yīng)的概率乘積之和，也就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值，這就是所謂“數(shù)學(xué)期望的概念”.一般地，有如下定義：定義4.1設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pkk=1,2,…，若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望(Mathematicalexpectation)，記為E25（X）.即E（X）=.（4.1）設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）.即E（X）=.（4.2）數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值.例4.1某商店在年末大甩賣中進
5、行有獎銷售，搖獎時從搖箱搖出的球的可能顏色為：紅、黃、藍、白、黑五種，其對應(yīng)的獎金額分別為：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定搖箱內(nèi)裝有很多球，其中紅、黃、藍、白、黑的比例分別為：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次搖獎?chuàng)u出的獎金額X的數(shù)學(xué)期望.解每次搖獎?chuàng)u出的獎金額X是一個隨機變量，易知它的分布律為表4-2X100001000100101pk0.00010.00150.01340.10.885因此，E（X）=10000×0.0001+1000×0.0015+1
6、00×0.0134+10×0.1+1×0.885=5.725.可見，平均起來每次搖獎的獎金額不足6元.這個值對商店作計劃預(yù)算時是很重要的.例4.2按規(guī)定，某車站每天8點至9點，9點至10點都有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立.其分布律為表4-3到站時刻8∶10，9∶108∶30，9∶308∶50，9∶50概率1/63/62/6一旅客8點20分到車站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)旅客候車時間為X分鐘，易知X的分布律為表4-4X1030507090pk3/62/61/363/362/
7、36在上表中pk的求法如下，例如P{X=70}=P（AB）=P（A）P（B）=1/6×3/6=3/36，其中A為事件“第一班車在8:10到站”，B為事件“第二班車在9:30到站”，于是候車時間的數(shù)學(xué)期望為E（X）=10×3/6+30×2/6+50×1/36+70×3/36+90×2/36=27.22(分鐘）.例4.3有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk（k=1，2，3，4，5）服從同一指數(shù)分布，其概率密度為f(x)=(1)若將這5個電子裝置串聯(lián)起來組成整機，求整機壽命N的數(shù)學(xué)期望；（2）若將這5個電
8、子裝置并聯(lián)組成整機，求整機壽命M的數(shù)學(xué)期望.25解Xk（k=1，2，3，4，5）的分布函數(shù)為F（x）=（1）串聯(lián)的情況由于當(dāng)5個電子裝置中有一個損壞時，整機就停止工作，所以這時整機壽命為N=min{X1，X2，X3，X4，X5}.由于X1，X2，X3，X4，X5是相互獨立的，于是i=min{X1，X2，X3，X4，X5}的分布函數(shù)為FN（x）=P{N≤x}=1-P{N＞x}=1-P{X1＞x，X2＞x，X3＞x，
