平面向量基本定理_中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念

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1、“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計研究”課題教學(xué)設(shè)計案例之二平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示上海曹楊二中　桂思銘一、內(nèi)容和內(nèi)容解析?本課時內(nèi)容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示”.此前的教學(xué)內(nèi)容由實際問題引入向量概念，研究了向量的線性運算，集中反映了向量的幾何特征，而本課時之后的內(nèi)容主要是研究向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運算，并運用向量的坐標(biāo)運算來解決問題，更多的是向量的代數(shù)形態(tài)，本節(jié)內(nèi)容從前面的知識中得出平面向量基本定理，并以此為基礎(chǔ)定義向量的坐標(biāo)，所以本節(jié)內(nèi)容是向量中承前啟后的內(nèi)

2、容.作為一種數(shù)學(xué)工具，在中學(xué)數(shù)學(xué)中向量的優(yōu)勢更多地體現(xiàn)在溝通幾何與代數(shù)，并將幾何及其它的一些問題通過代數(shù)運算來研究,這樣一個思辨的過程變?yōu)榱艘环N程序化的操作過程.向量基本定理實際上是建立向量坐標(biāo)的一個邏輯基礎(chǔ)，因為只有確定了任意一個向量在兩個不共線的基底上能進(jìn)行唯一分解建立坐標(biāo)系才有了依據(jù),同時，只有正確地構(gòu)建向量的坐標(biāo)才能有向量的坐標(biāo)運算.向量基本定理的研究綜合了前面的向量知識，同時又為后繼的內(nèi)容作了奠基，這就決定了本課內(nèi)容在向量知識體系中的核心地位.就學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，這一內(nèi)容也是體會數(shù)學(xué)化的一個很好的過程

3、，它充分地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，(實際上也有教材是不出現(xiàn)向量基本定理直接進(jìn)行向量坐標(biāo)運算的,教材安排它的作用可能更多地在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的完備性)它有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和數(shù)學(xué)的說理.所以它在學(xué)生的學(xué)習(xí)上也具有十分重要的地位.??　　二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.理解平面向量的基本定理，具體要求為：?(1)運用已有的向量知識研究平面向量的基本定理，經(jīng)歷給定的向量在一組基底上唯一分解的過程;?(2)體驗在解決問題過程中選擇適當(dāng)?shù)幕讕淼谋憬?幫助理解基底的作用;(3)將

4、向量的“唯一分解”與實數(shù)對的“一一對應(yīng)”建立聯(lián)系，指出這樣的對應(yīng)奠定了向量建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，體會數(shù)學(xué)中的問題轉(zhuǎn)化，及定理的深刻涵義.?2.理解向量坐標(biāo)的定義,并能用坐標(biāo)表示坐標(biāo)平面上的向量，具體要求為：?(1)結(jié)合學(xué)生在物理中已有的認(rèn)知,來進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上學(xué)習(xí)正交分解及其意義；?(2)結(jié)合向量及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)基礎(chǔ)正確把握坐標(biāo)向量的幾何意義.?3.反思向量坐標(biāo)的建立過程,體會平面向量坐標(biāo)建立的過程及平面向量基本定理的作用和意義.??　　三、教學(xué)問題診斷分析?前面學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的線性運算,本節(jié)課的目的是

5、要幫助學(xué)生建立向量的坐標(biāo).這中間實際上有兩個問題,先是運用已有的知識去研究一個問題(向量的基本定理),然后以這個定理為基礎(chǔ)建立一個新的研究體系(建立平面向量的坐標(biāo))?本節(jié)的內(nèi)容是圍繞向量在兩個基底上的唯一分解展開的，對于基底的認(rèn)識和理解是學(xué)生在學(xué)習(xí)中已在運用的,在物理中已有了將力、速度（向量）進(jìn)行分解合成的經(jīng)驗，在前面的向量學(xué)習(xí)中已有向量線性運算的經(jīng)驗，只是沒有專門提出而已,所以引入基底這一概念應(yīng)該是比較自然的，但相當(dāng)一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中只是依樣畫葫蘆，并不清楚引入基底這個概念的意義，當(dāng)然更不能很好地選擇、運用基底

6、進(jìn)行運算求解,有了平面向量基本定理教師可以運用定理說理，讓學(xué)生理解基底的作用及意義.所以在這一點上教師應(yīng)注意在教學(xué)中進(jìn)行設(shè)計引導(dǎo).?對于平面向量的基本定理,有些學(xué)生只是從形式上加以記憶,缺乏對問題本質(zhì)的理解,從卷面上看學(xué)生可能不會有什么大的問題,但學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解肯定會產(chǎn)生影響,所以在這一內(nèi)容的教學(xué)中教師要不斷地幫助學(xué)生進(jìn)行反思,通過對教學(xué)過程的反思來幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法,這也是改善學(xué)生的思維品質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的一個途徑,這一過程是隱性的、長期的，但這也是必須的.?學(xué)生在向量的學(xué)習(xí)中存在的一個困難是學(xué)生在

7、理解始點不在坐標(biāo)原點的向量的坐標(biāo)表示時會出現(xiàn)障礙，其原因是在直角坐標(biāo)系中點和點的坐標(biāo)是一一對應(yīng)的,到了向量時,向量的坐標(biāo)只是和從原點出發(fā)的向量一一對應(yīng),但只要結(jié)合向量相等的條件學(xué)生應(yīng)該容易克服這一難點,不過值得注意的是在后面學(xué)生用向量求點的坐標(biāo)時還會產(chǎn)生問題,如已知了向量及點的坐標(biāo)求點的坐標(biāo),有些學(xué)生還會發(fā)生錯誤,這時還必須結(jié)合圖形及向量的坐標(biāo)幫助學(xué)生進(jìn)行理解,必須使學(xué)生在這種特定的場合中明白:要求點的坐標(biāo)就是要求向量的坐標(biāo).同樣一個問題也需要學(xué)生從不同的側(cè)面來幫助理解.?四、教學(xué)支持條件分析?這里對于平面向量基

8、本定理的研究,并不是嚴(yán)格的證明,為了能便于說明問題建議通過教育技術(shù)的運用來幫助學(xué)生理解,這一過程最好能在教學(xué)中有充分地展現(xiàn),這也是關(guān)注教學(xué)過程,幫助學(xué)生養(yǎng)成動手動腦的習(xí)慣.另外現(xiàn)在的許多軟件具有很強的交互性,所以在教學(xué)中可以充分地運用技術(shù),使學(xué)生的學(xué)習(xí)富有樂趣,同時又可以通過不同的方式來刺激學(xué)生,幫助學(xué)生迅速地掌握教學(xué)內(nèi)容.?五、教學(xué)過程設(shè)計.?1.平面向量基本定理問題1