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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計—第四章隨機變量的數(shù)字特征.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、授課章節(jié)第四章隨機變量的數(shù)字特征目的要求掌握期望與方差的概念，熟練掌握計算期望與方差的方法重點難點隨機變量函數(shù)的期望和方差第二章我們討論了隨機變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性．但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的整個變化情況，而只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征．例如，在檢查一批棉花的質量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質量就越好．從這個例子看到，某些與隨機變量有關的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機變量，但能概括描述它的基本面貌．這些能代表隨機變量的主要特征的數(shù)字稱為數(shù)字
2、特征．本章介紹隨機變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學期望、方差和相關系數(shù)．§1數(shù)學期望一、數(shù)學期望的定義先看一個例子，某年級有100名學生，17歲的有2人，18歲的有2人，19歲的有30人，20歲的有56人，21歲的有10人，則該年級學生的平均年齡為或我們稱這個平均值是數(shù)17、18、19、20、21的加權平均值，它是把這五個數(shù)的地位或權重看得不同。而是把這五個數(shù)的地位或權重看得相同。對于一般隨機變量，其平均值定義如下：定義設離散型隨機變量X的分布律為，k=1、2、…，或列表如下：Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……若級數(shù)絕對收斂，則稱其收斂值為隨機變量的數(shù)學期望或均值，
3、記為．若級數(shù)發(fā)散，則稱隨機變量的數(shù)學期望不存在。設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則稱此收斂值為的數(shù)學期望或均值。記為，即。若積分發(fā)散，則稱隨機變量的數(shù)學期望不存在。例1設甲、乙兩人打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別記為X、Y，且分布如下：X8910Y8910P0.30.40.3P0.40.50.1試比較他們的射擊水平。解：顯然，平均的環(huán)數(shù)可以作為衡量他們設計水平的一個重要指標。因此，由、可得，甲的射擊水平優(yōu)于、乙的射擊水平。例2設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是，求X的均值E（X）。解：。二、幾種重要分布的數(shù)學期望。X01P1-pp（1）0-1分布或兩點分布分布律：則。（
4、2）二項分布分布律：，k=0、1、…、n，由，因為，所以。（3）泊松分布分布律：，k=0、1、…，所以，。連續(xù)（4）均勻分布均勻分布的概率密度為，因而。（5）指數(shù)分布指數(shù)分布的密度為或，?；?。（6）均勻分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為，所以。三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望在許多實際問題中，我們經(jīng)常需要計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，例如，飛機機翼受到的壓力的作用，其中V為風速是隨機變量，我們需要知道機翼受到的平均壓力。為此，下面給出隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算公式。定理1設為隨機變量的函數(shù)：(g是連續(xù)函數(shù))，（1）是離散型隨機變量，分布律為；則有。條件是絕對收斂。（2）是連續(xù)型隨機變
5、量，它的分布密度為，則有。條件是絕對收斂。定理1告訴我們：求時，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了。例3隨機變量的分布律如表3-2：表3-2X0123P求．解：定理2設Z是隨機變量的連續(xù)函數(shù)，（1）是二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為；則有。（2）是二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合分布密度為，則有．例4設風速V在（0，a）上服從均勻分布，即它的密度函數(shù)是，又設飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)，求W的數(shù)學期望。解：。例5隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)是求數(shù)學期望E（Y），E（1/XY）.解：由公式，得。三、數(shù)學期望的性質1°．設是常數(shù)，則有．2°設是隨機變量，設是常數(shù)，則
6、有．3°設，是隨機變量，則有．（該性質可推廣到有限個隨機變量之和的情況）4°設，是相互獨立的隨機變量，則有．（可推廣到有限個隨機變量之積的情況）1、2由讀者自己證明．我們來證明3和4．我們僅就連續(xù)型情形給出證明，離散型情形類似可證．證明:設二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布密度為，其邊緣分布密度為，．則+。性質3得證．又若和相互獨立，此時，故有]§2方差先看一個例子，設甲、乙兩人打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別記為X、Y，且分布如下：X8910Y8910P0.40.20.4P0.20.60.2試分析他們技術水平的穩(wěn)定性。直觀上看，甲的射擊水平波動較大，屬情緒型；相比之下，乙的射擊水平波
7、動小，技術水平穩(wěn)定。我們引用方差反映隨機變量與它的均值偏離程度．那么，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？用來描述是不行的，因為這時正負偏差會抵消；用來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計算；因此，通常用來描述隨機變量與均值的偏離程度．一、方差的定義定義設是隨機變量，存在，就稱其為的方差，記為，即=，稱為標準差，記為．二、方差的計算由定義=，或=。證明是離散型隨機變量，分布律為；則或。是連續(xù)型隨機變量，它的分布密度為，則或。例1設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是，求X的方差。解：，E三、幾種重要分布的方差X01P1-pp（1）0-1分布或兩點分布分布律：則，
