現(xiàn)代控制技術(shù)-2可控性和可觀性

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1、控制原理與接口技術(shù)葉春生，材料學(xué)院csye@mail.hust.edu.cnTel:027-87557041在控制工程中，有兩個(gè)問(wèn)題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤螅芊裨谟邢迺r(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉(zhuǎn)移）到希望的狀態(tài)上，以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出在一段時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)，能否判斷（識(shí)別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問(wèn)題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個(gè)概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問(wèn)題解的存在性問(wèn)題中最重要的問(wèn)題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問(wèn)題的解是不存在的。系統(tǒng)的可控性和可觀性可控性定義：當(dāng)系

2、統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時(shí)，給定系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)的所有狀態(tài)達(dá)到任一終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的。有狀態(tài)方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)其解為：如果有限的時(shí)間內(nèi)0

3、時(shí)，給定控制后，如果系統(tǒng)的每一個(gè)初始狀態(tài)x(0-)都可以在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)系統(tǒng)的輸出y(t)唯一確定，則稱系統(tǒng)完全可觀。若只能確定部分初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)部分可觀。有狀態(tài)方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)其解為：由于在討論能觀性問(wèn)題時(shí)，輸入是給定的，上式右側(cè)第二項(xiàng)是確知的，設(shè)u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-)系統(tǒng)的可控性和可觀性根據(jù)凱萊－哈米爾頓定理，e-At、eAt可寫成有限級(jí)數(shù)：如果方程有解，等式右側(cè)中間側(cè)矩陣應(yīng)滿秩。秩=n(系統(tǒng)的階數(shù))系統(tǒng)的可控性和可觀性對(duì)離散系統(tǒng)xn×1(k+1)=Fn×nxn×1(k)+Gn×mum×1(k)yp×1

4、(k)=Cp×nxn×1(k)可以推出完全可控和可觀的充分必要條件為：系統(tǒng)的可控性和可觀性狀態(tài)變量反饋一個(gè)系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)零極點(diǎn)的配置，其時(shí)間響應(yīng)的模態(tài)是由其極點(diǎn)的位置所決定的，如果可以對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)進(jìn)行預(yù)先進(jìn)行配置，根據(jù)極點(diǎn)的配置設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器，則系統(tǒng)的輸出會(huì)按照我們預(yù)先的想象實(shí)現(xiàn)?？梢宰C明：如果系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的，則系統(tǒng)的極點(diǎn)可任意配置。有狀態(tài)方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)若使調(diào)節(jié)器的輸出為系統(tǒng)所有狀態(tài)的負(fù)反饋，有u(t)=-Kx(t)x’(t)=(A－BK)x(t)系統(tǒng)的可控性和可觀性在前面的推導(dǎo)中，有三個(gè)條件應(yīng)滿足：系統(tǒng)完全能控假設(shè)給定輸入r(t)

5、=0；所有的系統(tǒng)狀態(tài)x(t)可以得到。于是，方程x’(t)=(A－BK)x(t)就成為狀態(tài)的零輸入響應(yīng)方程，其解為狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。其響應(yīng)過(guò)程取決于系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換：sX(s)-x(0-)=(A－BK)X(s)控制器被控對(duì)象Cx(t)y(t)r(t)u(t)×系統(tǒng)的可控性和可觀性sX(s)=(A－BK)X(s)+x(0-)X(s)=(sI-A+BK)-1x(0-)

6、(sI-A+BK)

7、是系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)方程的特征函數(shù)，極點(diǎn)可通過(guò)K的調(diào)整而任意配置。因?yàn)?sI-A+BK)-1＝[sI-A+BK]*/

8、(sI-A+BK)

9、系統(tǒng)的可控性和可觀性例：若有系統(tǒng)x’(t

10、)=Ax(t)+Bu(t)，其中系統(tǒng)的可控性和可觀性解得：s1＝-100，s2＝8.025，s3＝-8.025顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果從系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)性能考慮將閉環(huán)極點(diǎn)配置在s1＝-20s2＝-6+j4.9s3＝-6-j4.9相應(yīng)的特征方程為：(s1+20)(s2+6+j4.9)(s3+6-j4.9)=0s3+32s2+300s+1200=0采用狀態(tài)系統(tǒng)反饋后的特征方程為

11、(sI-A+BK)

12、=s3+100(1+k3)s2-(64.4+1600k2)s-1600k1-6400(k3+1)系統(tǒng)的可控性和可觀性有100(k3+1)=32-(64.4+1600k2)=300-160

13、0k1-6400(k3+1)=1200因此K=[-2.038-0.22775-0.68]可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可以通過(guò)K矩陣來(lái)重新配置。但前提條件是所有的狀態(tài)應(yīng)該是可以得到的(可觀測(cè))?？刂埔?guī)律x’(t)=Ax(t)+Bu(t)Cu(t)x(t)y(t)系統(tǒng)的可控性和可觀性同理，設(shè)給定r(k)=0，對(duì)于離散系統(tǒng)x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)若使調(diào)節(jié)器的輸出為系統(tǒng)所有狀態(tài)的負(fù)反饋u(k)=-Lx(t)x(k+1)=(F－GL)x(k)控制規(guī)律x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)Cu(k)x(k