實(shí)變函數(shù)思考

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1、第七章實(shí)數(shù)的完備性§1關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理教學(xué)目的：掌握實(shí)數(shù)完備性的基本定理，熟悉各定理證明思路及分析方法。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)為區(qū)間套定理的應(yīng)用,難點(diǎn)為對(duì)有限覆蓋定理的理解及使用。教學(xué)方法：講練結(jié)合。在第一、二章中，我們證明了關(guān)于實(shí)數(shù)集的確界原理和數(shù)列的單調(diào)有界定理，給出了數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則.這三個(gè)命題以不同方式反映了實(shí)數(shù)集R的一種特性，通常稱(chēng)為實(shí)數(shù)的完備性或?qū)崝?shù)的連續(xù)性?？梢耘e例說(shuō)明，有理數(shù)集就不具有這種特性（本節(jié)習(xí)題4）。有關(guān)實(shí)數(shù)集完備性的基本定理，除上述三個(gè)外，還有區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理，在本節(jié)中將闡述這三個(gè)基本定理。一區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則定義1設(shè)閉區(qū)間列具

2、有如下性質(zhì)：（?），；（??），則稱(chēng)為閉區(qū)間套，或簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)間套。這里性質(zhì)（?）表明，構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個(gè)套著后一個(gè)，即各閉區(qū)間的端點(diǎn)滿足如下不等式：（1）定理7.1（區(qū)間套定理）若是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)，使得，，即，（2）證由（1）式，為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界定理，有極限，且有（3）同理，遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件（??）有，（4）且（5）聯(lián)合（3）、（5）即得（2）式。最后證明滿足（2）的是唯一的。設(shè)數(shù)也滿足第七章第一節(jié)第6頁(yè)則由（2）式有由區(qū)間套的條件（??）得，故有由（4）式容易推得如下很有用的區(qū)間套性質(zhì)：推論若是區(qū)間套所確定的點(diǎn)，則對(duì)任

3、給的>0，存在N>0，使得當(dāng)>N時(shí)有注區(qū)間套定理中要求各個(gè)區(qū)間都是閉區(qū)間，才能保證定理的結(jié)論成立。對(duì)于開(kāi)區(qū)間列，如，雖然其中各個(gè)開(kāi)區(qū)間也是前一個(gè)包含后一個(gè)，且，但不存在屬于所有開(kāi)區(qū)間的公共點(diǎn).作為區(qū)間套定理的應(yīng)用，我們來(lái)證明第二章中敘述而未證明的“數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則”（定理2.10）,即數(shù)列收斂的充要條件是:對(duì)任給的,存在,使得對(duì)有.證[必要性]設(shè).由數(shù)列極限定義,對(duì)任給的,存在,當(dāng)時(shí)有因而[充分性]按假設(shè),對(duì)任給的,存在,使得對(duì)一切有,即在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎所有的項(xiàng)(這里及以下,為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們用“中幾乎所有的項(xiàng)”表示“中除有限項(xiàng)外的所有項(xiàng)”).據(jù)此,令,則存在,在區(qū)間內(nèi)含有中

4、幾乎所有的項(xiàng).記這個(gè)區(qū)間為.第七章第一節(jié)第6頁(yè)再令，則存在，在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎所有的項(xiàng)．記，它也含有中幾乎所有的項(xiàng)，且滿足　　　　　　　　　繼續(xù)依次令照以上方法得一閉區(qū)間列，其中每個(gè)區(qū)間都含有中幾乎所有的項(xiàng)．且滿足即是區(qū)間套．由區(qū)間套定理，存在唯一的一個(gè)數(shù)，　　現(xiàn)在證明數(shù)就是數(shù)列的極限．事實(shí)上，由定理7.1的推論，對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)有　　　　　　　　　　因此在內(nèi)除有限外的所有項(xiàng)，這就證得．二聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理定義2　設(shè)S為數(shù)軸上的點(diǎn)集，為定點(diǎn)(它可以屬于S，也可以不屬S)．的任何鄰域內(nèi)都含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng)為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn)．例如，點(diǎn)集有兩個(gè)聚點(diǎn)和；點(diǎn)集只有一個(gè)聚點(diǎn)；

5、又若S為開(kāi)區(qū)間，則內(nèi)每一點(diǎn)以及端點(diǎn)、都是S的聚點(diǎn)；而正整數(shù)集沒(méi)有聚點(diǎn)，任何有限數(shù)集也沒(méi)有聚點(diǎn)．聚點(diǎn)概念的另兩個(gè)等價(jià)定義如下：定義2’對(duì)于點(diǎn)集S，若點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都含有S中異于的點(diǎn)，即，則稱(chēng)為S的一個(gè)聚點(diǎn)．定義2”若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列，則其極限稱(chēng)為S的一個(gè)聚點(diǎn)關(guān)于以上三個(gè)定義等價(jià)性的證明，我們簡(jiǎn)述如下．定義2定義2’是顯然的，定義2”定義2也不難得到；現(xiàn)證定義2’定義2”第七章第一節(jié)第6頁(yè)設(shè)為S(按定義2’)的聚點(diǎn)，則對(duì)任給的，存在．令，則存在；令，則存在，且顯然；令，則存在，且互異。無(wú)限地重復(fù)以上步驟，得到S中各項(xiàng)互異的數(shù)列，且由，易見(jiàn)。下面我們應(yīng)用區(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理．定

6、理7．2(魏爾斯特拉斯(Weierstrass)聚點(diǎn)定理)實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn)．證因S為有界點(diǎn)集，故存在，使得，記現(xiàn)將等分為兩個(gè)子區(qū)間．因S為無(wú)限點(diǎn)集，故兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，記此子區(qū)間為，則且再將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)子區(qū)間含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，取出這樣的一個(gè)子區(qū)間，記為，則，且將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去，得到一個(gè)區(qū)間列，它滿足,即是區(qū)間套，且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)．由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)，．于是由定理7．1的推論，對(duì)任給的，存在，當(dāng)時(shí)有．從而第七章第一節(jié)第6頁(yè)內(nèi)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，按定義2，為S的一個(gè)

7、聚點(diǎn)．推論(致密性定理)有界數(shù)列必含有收斂子列．證設(shè)為有界數(shù)列．若中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，則由這些項(xiàng)組成的子列是一個(gè)常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的.若不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，則其在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有界無(wú)限點(diǎn)集，故由聚點(diǎn)定理，點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)，記為。則存在的一個(gè)收斂子列(以為其極限).作為致密性定理的應(yīng)用，我們用它重證數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則中的充分性.證設(shè)數(shù)列滿足柯西條件．先證明是有界的．為此，取則存在正整數(shù)N，當(dāng)m=N+1及n>N時(shí)有由此得=.令M=max則對(duì)一切正整數(shù)n