實(shí)變函數(shù)5.45

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1、4.5絕對(duì)連續(xù)函數(shù)本講目的：掌握絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義，，熟悉絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。熟練掌握Newton-Leibniz公式成立的充要條件。重點(diǎn)與難點(diǎn)：Newton-Leibniz公式的證明。第四節(jié)微分與不定積分第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)一.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義現(xiàn)在回到我們最初的問題上來：牛頓一萊布尼茲公式對(duì)何種函數(shù)成立？第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)從單調(diào)函數(shù)的例子及上面的討論不難看到，有界變差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雖然可積，但也未必能使牛頓—萊布尼茲公式成立。因此條件還要加強(qiáng)，這正是下面要引入的定義8設(shè)f是[a,b]上的函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得對(duì)于[a,b]中的任意一組分點(diǎn)：，只要，便有，則稱f是[a,b]上的絕對(duì)連續(xù)

2、函數(shù)，或稱f在[a,b]上絕對(duì)連續(xù)。第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)二.牛頓一萊布尼茲公式成立的充要條件從定義立知,[a,b]上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。絕對(duì)連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)又是什么關(guān)系呢？假設(shè)是[a,b]上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，于是對(duì)任意，存在，使得只要，就有，取正整數(shù)N，使得，將分成N等分，設(shè)分點(diǎn)為第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)對(duì)[a,b]的任一分劃添加進(jìn)去，得新的分劃，于是因此，。這就是說,連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。下面的定理指出：對(duì)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，牛頓—萊布尼茲公式是成立的。第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)定理9設(shè)上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則上幾乎處處可微,上Lebesgue可積，且證明：由上面的討論，顯然僅需證明等式成立

3、。第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)對(duì)于則上的可積函數(shù)，且第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)往證上積分等度絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)序列。任取使得定義8中的不等式成立。設(shè)內(nèi)一列互不相交的區(qū)間,使得,則對(duì)任意正整數(shù),有第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)從而對(duì)任意，有進(jìn)而第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)由積分的絕對(duì)連續(xù)性易知，，第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)而對(duì)任意開集，只要，便有若是型集，是開集,則可設(shè)，當(dāng)k充分大時(shí)，也有,因此由（為什么？）立得第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)現(xiàn)設(shè)是任意可測(cè)集，，則可找到型集。使于是這說明具有積分等度絕對(duì)連續(xù)性，由Vitali定理立知第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)證畢。第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)定理9告訴我們，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的確可以表示成其導(dǎo)函數(shù)的Lebesgue積分，但問題

4、尚未得到圓滿解決，因?yàn)槲覀冞€不知道絕對(duì)連續(xù)性是否為牛頓一萊布尼茲公式成立的必要條件，現(xiàn)在就來討論這個(gè)問題。定理10設(shè)上的Lebesgue可積函數(shù)，且對(duì)任意則，則。第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)證明：由及積分的基本性質(zhì)不難得知對(duì)[a,b]內(nèi)任意區(qū)間I，有,于是對(duì)[a,b]內(nèi)任意開集G，也有,對(duì)[a,b]內(nèi)任意閉集F,令則G是開集，注意到，從而第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)現(xiàn)設(shè)E是[a,b]內(nèi)任一可測(cè)集，則對(duì)任意正整數(shù)n，存在閉集，使得，由積分的絕對(duì)連續(xù)性知對(duì)任意，存在N，當(dāng)時(shí),有因此，第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)由的任意性知。如果，則，,至少有一個(gè)是正測(cè)度集。從而存在正整數(shù)n，使或不妨設(shè)。，則第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)這與上面的證明

5、矛盾，故必有證畢。定理11設(shè)是上的Lebesgue可積函數(shù)，其中c是任意常數(shù)，則上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，且。證明：由積分的絕對(duì)連續(xù)性立得上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，于是幾乎處處可微，且在上可積,第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)并有。又由F的定義知,所以對(duì)任意,有。由定理10便得。至此我們得到了：一個(gè)函數(shù)等于其導(dǎo)數(shù)的Lebesgue積分當(dāng)且僅當(dāng)該函數(shù)為絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。由此可以證明，對(duì)于絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，分部積分公式及換元公式都是成立的。具體說來即有下面的第五節(jié)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)推論1（分部積分法）設(shè)，均為上的絕對(duì)連續(xù)，則推論2（換元法）若設(shè)是上的可積函數(shù)，是單調(diào)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，推論1與推論2的證明作為練習(xí)留給讀者。