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《實(shí)變函數(shù) (6)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第一節(jié)外測度第三章測度論1.引言其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“長度”問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）達(dá)布上和與下和Riemann積分xi-1xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）2Lebesgue外測度(外包)為
2、E的Lebesgue外測度。定義：，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)下確界：即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()例中單點(diǎn)集的外側(cè)度為零，即2.平面上的x軸的外測度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則E的外測度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在[0,1]上都稠密，問證明中 的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯誤出在取 ，因?yàn)閕的取定依賴于δ事實(shí)上，能否覆蓋取決于ε的選
3、取()思考：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([())()(()])０ ?。弊ⅲ簩τ邢迋€開區(qū)間一定有從左到右的一個排列4.Lebesgue外測度的定義中，若我們用有限個開區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這有限個開區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個點(diǎn)外）故外側(cè)度的定義中，是可數(shù)個而不是有限個（2）Lebesgue外測度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界
4、反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性：，當(dāng)E為空集時，（C）次可數(shù)可加性證明：對任意的ε>0,由外測度的定義知，對每個An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因?yàn)橥鉁y度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時候，區(qū)間Ii不可能同時含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。若d(A,B)>0,則例證明參見教材p
5、-56思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣對任意區(qū)間，有例：Cantor集的外測度為0。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為
