實(shí)變函數(shù)問題

《實(shí)變函數(shù)問題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、實(shí)數(shù)的完備性1實(shí)數(shù)連續(xù)性的等價(jià)描述1．求數(shù)列{Jn}的上、下確界：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2．設(shè)在上定義，求證：(1)(2)3．設(shè)，且，試證自中可選取數(shù)列且互不相同，使；又若，則情形如何?4．試證收斂數(shù)列必有上確界和下確界，趨于的數(shù)列必有下確界，趨于的數(shù)列必有上確界．5．試分別舉出滿足下列條件的數(shù)列：(1)有上確界無(wú)下確界的數(shù)列；(2)含有上確界但不含有下確界的數(shù)列；(3)既含有上確界又含有下確界的數(shù)列；(4)既不含有上確界又不含有下確界的數(shù)列，其中上、下確界都有限．2實(shí)數(shù)閉區(qū)間的緊致性1．利用有限覆蓋定理9．2證明緊致性定理9．4．2．利用緊致性定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．3．

2、用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限．4．試分析區(qū)間套定理的條件：若將閉區(qū)間列改為開區(qū)間列，結(jié)果怎樣?若將條件去掉或?qū)l件去掉，結(jié)果怎樣?試舉例說(shuō)明．5．若無(wú)界，且非無(wú)窮大量，則必存在兩個(gè)子列(為有限數(shù))．6．有界數(shù)列若不收斂，則必存在兩個(gè)子列．7．求證：數(shù)列有界的充要條件是，的任何子數(shù)列都有收斂的子數(shù)列．8．設(shè)在上定義，且在每一點(diǎn)處函數(shù)的極限存在，求證：在上有界．9．設(shè)在無(wú)界，求證：存在，對(duì)任給，函數(shù)在上無(wú)界．10．設(shè)是上的凸函數(shù)，且有上界，求證：存在．11．設(shè)在上只有第一類間斷點(diǎn)，定義求證：任意的點(diǎn)只有有限多個(gè)．12．設(shè)在上連續(xù)且有界，對(duì)任意，在上只有有限個(gè)根或無(wú)根，求證：存在．3實(shí)數(shù)的完

3、備性1，設(shè)在連續(xù)，求證：在一致連續(xù)的充要條件是與都存在，2．求證數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限不存在．3．利用柯西收斂定理討論下列數(shù)列的收斂性：(1)(2)(3)4．證明存在的充要條件是：對(duì)任意給定，存在，當(dāng)時(shí)，恒有5．證明在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：任給，存在，當(dāng)時(shí)，恒有6．證明下列極限不存在：(1)(2)(3)(4)(5)7．設(shè)在上可導(dǎo)，單調(diào)下降，且存在，求證．8．設(shè)在可導(dǎo)，且，任給，令求證，(1)存在；(2)上述極限為的根，且是唯一的．9．設(shè)在滿足條件：(1)(2)的值域包含在內(nèi)．則對(duì)任意，令，有(1)存在；(2)方程的解在上是唯一的，這個(gè)解就是上述極限值．4再論閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1．設(shè)在上連續(xù)，并且最大

4、值點(diǎn)是唯一的，又設(shè)，使，求證2．設(shè)在上連續(xù)，可微，又設(shè)(1)(2)如果，則有，求證：的根只有有限多個(gè)．3．設(shè)在連續(xù)，，，求證：存在，使，且．4．設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，其最大值和最小值分別為和，求證：必存在區(qū)間，滿足條件：(1)或；(2)，當(dāng)．5．在連續(xù)，且，求證：存在，使．6．設(shè)在上連續(xù)，且取值為整數(shù)，求證：常數(shù)．7．設(shè)在上一致連續(xù)，，證明在上有界；8．若函數(shù)在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)，使得證明：在上一致連續(xù)．9．試用一致連續(xù)的定義證明：若函數(shù)在和上都一致連續(xù)，則在上也一致連續(xù)．10．設(shè)在上連續(xù)，且與存在．證明；在上一致連續(xù)．11．若在區(qū)間(有窮或無(wú)窮)中具有有界的導(dǎo)數(shù)

5、，即，則在中一致連續(xù)．12．求證：在上一致連續(xù)．13．設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：在上不一致連續(xù)．14．求證：在上不一致連續(xù)．5可積性1．判斷下列函數(shù)在區(qū)間上的可積性：(1)在上有界，不連續(xù)點(diǎn)為；(2)(3)(4)2．討論三者間可積性的關(guān)系．3．設(shè)都在上可積，證明：在上也是可積的．4．設(shè)在上可積，且，求證：(1)在可積；(2)在可積．5．設(shè)在可積，求證：任給，存在逐段為常數(shù)的函數(shù)，使6．設(shè)在上有界，定義求證7．設(shè)在附近有定義且有界，定義求證：在連續(xù)的充分必要條件為．8．若函數(shù)在可積，證明：其中(這一性質(zhì)稱為積分的連續(xù)性)．9．對(duì)任意省仨成立，求證：10．設(shè)在有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：11．設(shè)在可積，求證

6、；存在連續(xù)函數(shù)序列，使12．設(shè)在黎曼可積，求證：(1)存在區(qū)間序列使且；(2)存在，使得在點(diǎn)連續(xù)；(3)在上有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)點(diǎn)．