實(shí)變函數(shù)5.42

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1、第四節(jié)微分與不定積分目的：熟練掌握單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，熟悉單調(diào)函數(shù)的基本性質(zhì)以及跳躍度、跳躍函數(shù)等重要概念。重點(diǎn)與難點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。4.2單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)基本內(nèi)容：一．問(wèn)題的提出問(wèn)題1：Newton-Leibniz公式告訴我們什么？它的重要性表現(xiàn)在什么地方？對(duì)于Lebesgue積分而言，能否建立類(lèi)似的結(jié)論？第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)牛頓-萊布尼茲公式告訴我們，如果是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則是的一個(gè)原函數(shù)，即。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)假如我們將Riemann積分換成Lebesgue積分，類(lèi)似的結(jié)論是否仍成立？具體地說(shuō)，若是[a,b]上的Lebesgue可積函數(shù)，則在[a

2、,b]上是否可導(dǎo)？如果可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是否等于？另一方面，如果是[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù)，則在[a,b]上是否可積？如果可積，則是否等于？不難看到，無(wú)論是對(duì)Riemann積分還是對(duì)Lebesgue積分而言，一個(gè)函數(shù)即使處處有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)未必是可積的。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)例如，若則在[0,1]上處處有導(dǎo)數(shù)，然而在[0,1]上卻是不可積的(參見(jiàn)江澤堅(jiān)、吳智泉合編《實(shí)變函數(shù)論》第二版，高教出版社1998)。那么，什么樣的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是可積的呢？這正是我們關(guān)心的問(wèn)題。二.單調(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義1設(shè)f是定義在實(shí)直線R1中點(diǎn)集E上的有限函數(shù)，如果對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，就稱(chēng)f

3、是E上的單調(diào)增加函數(shù)。如果恒成立，則稱(chēng)f為E上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則稱(chēng)f是E上的單調(diào)遞減函數(shù)。若不等式恒成立，則稱(chēng)f為E上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)問(wèn)題2：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)哪些類(lèi)型？間斷點(diǎn)有多少？第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)若f是E上的有限函數(shù)，在點(diǎn)的右極限存在，則稱(chēng)為f在點(diǎn)的右方跳躍度，若f在點(diǎn)的左極限存在，則稱(chēng)為f在點(diǎn)的左方跳躍度。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)若f在的左、右極限都存在，但其左、右方跳躍度不全為0(即不全相等)，則稱(chēng)為f的第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)，若f的不連續(xù)點(diǎn)不是第一類(lèi)的，則稱(chēng)為第二類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。定理1設(shè)f是[a,

4、b]上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f具有下列性質(zhì)：(1)f的不連續(xù)點(diǎn)全是第一類(lèi)的；(2)f的不連續(xù)點(diǎn)集至多可數(shù)；(3)f在不連續(xù)點(diǎn)的左、右方跳躍度都是非負(fù)的，并且所有跳躍度的總和不超過(guò)。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)證明：(1)首先證明，對(duì)任意存在。事實(shí)上，由于　　　　，故存在N，當(dāng)　　時(shí)，，由單調(diào)性得且是單調(diào)下降的序列，故存在，且。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)記，則對(duì)任意，存在，使得，對(duì)任意，顯然有，由f的單調(diào)性得，因此，即。類(lèi)似可證也存在，故f的不連續(xù)點(diǎn)必是第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。(2)由(1)的證明知對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)顯然，當(dāng)時(shí)，，這說(shuō)明f在中任一點(diǎn)的左、右方跳躍度均非負(fù)，第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第

5、二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)F為f在上的不連續(xù)點(diǎn)全體，若，且，則由f的單調(diào)性可知，因此開(kāi)區(qū)間與互不相交，且由于F中點(diǎn)為不連續(xù)點(diǎn)，故。記F為中開(kāi)區(qū)間全體所成的類(lèi)。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)作對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：，并記，則是中互不相交的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的集類(lèi)，從而最多可數(shù)，顯然是F到的一一對(duì)應(yīng)，所以F也是至多可數(shù)的集合。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)(3)記，對(duì)任意正整數(shù)N，不妨設(shè)，取，則，因此，第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)而令立得證畢。三．單調(diào)函數(shù)的可積性問(wèn)題3：[a,b]上的單調(diào)函數(shù)是否一定是R-可積的？為什么？第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)定理2設(shè)f是[a,b]上單調(diào)增加的有限函數(shù)，則f是[a,b]上的Riemann可積函數(shù)。第二

6、節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)證明：由于f在[a,b]上有限，故，從而由單調(diào)性知f是[a,b]上的有界函數(shù)，由定理1知f至多有可數(shù)個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，其不連續(xù)點(diǎn)集顯然是零測(cè)集，由本章§2定理6知f必是Riemann可積函數(shù)，證畢。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)四.跳躍函數(shù)問(wèn)題4：能否找到一個(gè)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，其間斷點(diǎn)與所給定的單調(diào)函數(shù)相同？且對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的跳躍度也相同？找一個(gè)在一點(diǎn)間斷的例子。定義2設(shè)是兩組數(shù)(p是正整數(shù)或)，滿(mǎn)足，設(shè)是中的p個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)下列函數(shù)為跳躍函數(shù)，其中是所謂的Heaviside函數(shù)：第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)如果都是非負(fù)數(shù)，則不難驗(yàn)證是單調(diào)增加的。一般情況下，可令，則，于是第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)第二節(jié)單

7、調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)都是單調(diào)增加的跳躍函數(shù)，且是上的跳躍函數(shù)，若，則(i)是的不連續(xù)點(diǎn)集。(ii)每個(gè)都是的第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)，且在點(diǎn)的左方跳躍度為，右方跳躍度為。第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)引理1設(shè)則在x點(diǎn)連續(xù)，且證明：首先證明，只要x不等于，則在x點(diǎn)連續(xù)，事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，結(jié)論是顯然的?，F(xiàn)設(shè)，令第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)由于級(jí)數(shù)收斂，故，所以在上一致收斂到，從而對(duì)任意，存在使得時(shí)，有第二節(jié)單調(diào)函數(shù)的結(jié)構(gòu)若，則由在x點(diǎn)的連續(xù)性知存在，當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)一步。由的任意性知在x點(diǎn)連續(xù)。第二節(jié)單