最值問題的求解八法

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1、最值問題的求解八法最值問題，也就是最大值和最小值問題。它是初中數(shù)學(xué)競賽中的常見問題。這類問題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。本文以例介紹一些常見的求解方法，供讀者參考。一.配方法例1.可取得的最小值為_________。解：原式由此可知，當(dāng)時(shí)，有最小值。二.設(shè)參數(shù)法例2.已知實(shí)數(shù)滿足。則的最大值為________。解：設(shè)，易知由，得從而，由此可知，是關(guān)于t的方程的兩個(gè)實(shí)根。于是，有解得。故的最大值為2。例3.若，則可取得的最小值為（）A.3B.C.D.6解：設(shè)，則從而可知，當(dāng)時(shí)，取

2、得最小值。故選（B）。三.選主元法例4.實(shí)數(shù)滿足。則z的最大值是________。解：由得。代入消去y并整理成以為主元的二次方程，由x為實(shí)數(shù)，則判別式。即，整理得解得。所以，z的最大值是。四.夾逼法例5.是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且滿足。設(shè)，記為m的最小值，y為m的最大值。則__________。解：由得解得由是非負(fù)實(shí)數(shù)，得從而，解得。又，故于是，因此，五.構(gòu)造方程法例6.已知矩形A的邊長為a和b，如果總有另一矩形B使得矩形B與矩形A的周長之比與面積之比都等于k，試求k的最小值。解：設(shè)矩形B的邊長為x和y，由題設(shè)可得。從而x和y可以看作

3、是關(guān)于t的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則因?yàn)椋?，解得所以k的最小值是四.由某字母所取的最值確定代數(shù)式的最值例7.已知為整數(shù)，且。若，則的最大值為_________。解：由得，代入得。而由和可知的整數(shù)。所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為。七.借助幾何圖形法例8.函數(shù)的最小值是________。解：顯然，若，則。因而，當(dāng)取最小值時(shí)，必然有。如圖1，作線段AB=4，，且AC=1，BD=2。對于AB上的任一點(diǎn)O，令OA=x，則。那么，問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點(diǎn)O，使OC+OD最小。圖1設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)為E，則DE與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)O，

4、此時(shí)，。作EF//AB與DB的延長線交于F。在中，易知，所以，。因此，函數(shù)的最小值為5。八.比較法例9.某項(xiàng)工程，如果有甲、乙兩隊(duì)承包天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包天完成，需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？解：設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需天完成，則解得又設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付元，則解得于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是（元）；由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是（元）；而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成，經(jīng)過比較得知，乙隊(duì)承包費(fèi)用最少。