高二數(shù)學(xué)歸納推理和類比推理

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1、歸納推理哥德巴赫猜想世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被1和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一個(gè)≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。有人對(duì)33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積”,通常都簡稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為

2、“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。………………200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1637年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：“將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪的和，或者一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪的和，這是不可能的.”費(fèi)馬猜想數(shù)論中最著名的世界難題之一300多年來，這個(gè)問題吸引了很多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院曾于1816年和1850年兩次懸賞

3、征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家的不斷努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底解決這一大難題.1852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！笔澜缃髷?shù)學(xué)難題之一四色猜想1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該

4、類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分　　　　整體個(gè)別一般不完全歸納推理得到的結(jié)論是否正確還有待嚴(yán)格的證明,但它可以為我們的研究提供一種方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想是正確的.取倒數(shù)得：解法2、構(gòu)造法例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時(shí)將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割

5、成9條線段,同時(shí)將圓分割成7部分.那么(1)在圓內(nèi)畫四條線段,彼此最多分割成條線段?同時(shí)將圓分割成部分?(2)猜想:圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段,彼此最多分割成條線段?同時(shí)將圓分割成部分?………累加得:例3.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測:把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=4時(shí),n

6、=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求通項(xiàng)公式an.an+1+1=2（an+1）數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列構(gòu)造法(2004春季上海)根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)(2005年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)=,當(dāng)n>4時(shí),f(n)=.(用n表示)累加得:(2001年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=

7、1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為：設(shè)圓的方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.小結(jié)2.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分　　　　整體個(gè)別一般練習(xí)1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,且計(jì)算S1,S2,S3,S4,并

8、猜想Sn的