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《曲線和曲面上的積分(I)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、曲線和曲面上的積分Green公式和Stokes公式1內(nèi)容提要Green公式：說明平面上簡單閉曲線C的(第二型)曲線積分和C所圍區(qū)域的積分之間的關(guān)系及其對有界區(qū)域的推廣Stokes公式：R3中雙側(cè)曲面S上的(第二型)曲面積分與其邊沿的(第二型)曲線積分的關(guān)系Gauss公式：Rn中n-1維雙側(cè)閉曲面S的(第二型)曲面積分和S所圍區(qū)域上的積分之間的關(guān)系及其對有界區(qū)域的推廣2Green定理設(shè)C是平面R2中的一條分段光滑簡單閉曲線,W是C所圍成的閉區(qū)域(C=?W),F=(P,Q)是定義在W上的光滑向量場.規(guī)定C的方向為逆時針方向,則下列Green公式成立其中r=(x,
2、y),表示在閉曲線C上沿逆時針的方向積分.3Green定理示意圖4Green定理的證明Green定理的一般證明是復(fù)雜,但思想很簡單:就是將W分成滿足下列形式的小區(qū)域Wk:的并,先在每一個上證明定理,然后加起來.這里僅對上面特殊區(qū)域證明定理.設(shè)5Green定理證明(續(xù)1)由公式右端出發(fā)6Green定理證明(續(xù)2)同樣的7Green定理證明(續(xù)3)兩式相加就得到8Green公式例題1計算曲線積分其中L是由A(1,1)經(jīng)B(3,2)到C(2,5),再回到A的三角形閉路解:記W=?ABC所圍成的區(qū)域,此時L的方向是正向.9Green公式例題1(續(xù))利用Green公式
3、10一般形式的Green定理設(shè)W是平面R2中的有界閉區(qū)域,其邊界?W由有限多條分段光滑的簡單閉曲線組成,F=(P,Q)是定義在W上的光滑向量場.規(guī)定?W的方向(正向)為:沿該方向前行,區(qū)域W保持在左側(cè),則下列Green公式成立11Green定理的推論梯度場(積分與路徑無關(guān))定理:單連通開集中的光滑向量場是梯度場的充要條件區(qū)域面積計算公式12梯度場定理單連通開集:設(shè)W是一個平面開集.如果任何W中的簡單閉曲線C所圍的區(qū)域都包含在W中,就說W是單連通的.設(shè)W是平面上的單連通開集,F=(P,Q)是W中的一個光滑向量場,則存在W中的數(shù)值函數(shù)?使得F=??的充分必要條件
4、是13梯度場定理證明條件的充分性：假設(shè)條件(*)成立.則連結(jié)在W中任意兩點的曲線積分僅與初始點和終點有關(guān),因此F是梯度場.條件的必要性：假設(shè)F=??,則14Green公式例題2計算其中C是繞原點(0,0)按逆時針方向的一條閉曲線.解15Green公式例題2(續(xù))注意這個向量場在原點不連續(xù),因此我們不能得到所求的曲線積分為零.記Cr為以原點為心,r為半徑的圓周,當(dāng)r充分小時,Cr包含在C所圍成的區(qū)域內(nèi).由一般形式的Green公式.16區(qū)域面積計算公式設(shè)W是平面上的有界閉區(qū)域,其邊界?W由有限多條分段光滑的簡單閉曲線組成,則W的面積為17Stokes定理設(shè)W是平
5、面上的一個有界單連通閉區(qū)域,其邊界?W為一條分段光滑的簡單閉曲線.?:??為曲面S的正則表示,?S=?(?W)稱作曲面S的邊界.規(guī)定S的方向與?S的方向成右手螺旋.設(shè)F=(P,Q,R)為S上的一個光滑向量場,則18Stokes公式(續(xù)1)這個公式稱作Stokes公式,其中r=(x,y,z),稱作向量場的旋度,也記成curlF.這個公式是Green公式到三維歐氏空間曲面上的推廣.設(shè)?(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)).?W={h(t)=(u(t),v(t)):t?[a,b]}逆時針方向.19Stokes公式(續(xù)2)下面計算：注意下面記號的
6、省略20Stokes公式(續(xù)3)由Green公式計算得到21Stokes公式(續(xù)4)這就有所以22Stokes公式(續(xù)5)類似地有相加就得到所要的公式#23Stokes公式的簡單記法Stokes公式有下面的行列式記法24一般形式Stokes定理設(shè)W是平面R2中的有界閉區(qū)域,其邊界?W由有限多條分段光滑的簡單閉曲線組成.?:??R3為單射分片光滑.S=?(W),?S=?(?W).F=(P,Q,R)為S上的一個分片光滑向量場,則其中S的方向(側(cè))與?S的方向成廣義右手螺旋,即站在S一側(cè),沿?S的方向前行,曲面S保持在左側(cè).#25梯度場定理單面連通開集:設(shè)W?R3
7、是開集.如果任何W中的簡單閉曲線C,存在分片光滑單射?:B2?W,?(?B2)=C,就說W是單面連通的,其中B2是平面上的單位圓盤.設(shè)W?R3是單面連通開集,F=(P,Q,R)是W中的一個光滑向量場,則存在W中的數(shù)值函數(shù)?使得F=??的充分必要條件是rotF=0.#26
