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《曲線和曲面上的積分.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、曲線和曲面上的積分場(chǎng)論1基本概念梯度場(chǎng):設(shè)?是??Rn上的一個(gè)光滑實(shí)值函數(shù)(純量場(chǎng)),??自然給出了?上的一個(gè)向量場(chǎng),也記為??,它稱為?的梯度場(chǎng),簡(jiǎn)稱梯度場(chǎng);散度場(chǎng):設(shè)F是??Rn上的光滑向量場(chǎng).?上的數(shù)量場(chǎng)稱作F的散度(場(chǎng)),也記作divF=?·F2基本概念(續(xù))旋度場(chǎng):設(shè)F=(P,Q,R)是??R3上的一個(gè)光滑向量場(chǎng).向量場(chǎng)稱作F的旋度(向量場(chǎng)),也記成rotF=??F記號(hào)?(讀作nabla)也稱作梯度算子,把它理解為3梯度場(chǎng)的意義設(shè)?是??Rn上的一個(gè)光滑實(shí)值函數(shù)(純量場(chǎng)),??是其梯度場(chǎng).??也記作grad?.??的基本意義是給出了?在?的各點(diǎn)最大的方向
2、導(dǎo)數(shù)的值及其方向;??給出了?的等高面?(x)=c上的法向量場(chǎng);??(x0)(x-x0)=0是等高面?(x)=?(x0)在x0點(diǎn)的切平面;??是描述數(shù)量場(chǎng)?擴(kuò)散的基本數(shù)學(xué)量.4散度場(chǎng)的意義設(shè)F是??Rn上的一個(gè)光滑向量場(chǎng),divF=?·F叫做F的散度場(chǎng).divF(x0)表示向量場(chǎng)F在x0點(diǎn)的發(fā)散程度:設(shè)V是包含x0點(diǎn)(x0點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn))的區(qū)域F在V上的平均發(fā)散程度定義為當(dāng)
3、V
4、趨于零時(shí),由Gauss公式就得到上面的解釋.divF(x0)>(<)0表示x0是F的源(或漏)點(diǎn).5梯度場(chǎng)的散度場(chǎng)設(shè)?是??Rn上的一個(gè)光滑實(shí)值函數(shù)(純量場(chǎng)),其梯度場(chǎng)??的散度場(chǎng)div??=D
5、?在討論溫度場(chǎng)和密度場(chǎng)等數(shù)量場(chǎng)時(shí)是基本的.D=?·?叫Laplace算子如果divF=0,就稱F為無(wú)源場(chǎng),例如三維空間中,向量場(chǎng)的旋度場(chǎng)就是無(wú)源場(chǎng).6旋度場(chǎng)的意義設(shè)F=(P,Q,R)是??R3上的一個(gè)光滑向量場(chǎng).rotF=curlF=??F叫F的旋度.curlF(x0)表示向量場(chǎng)F在x0點(diǎn)的環(huán)流(渦旋)程度(是一個(gè)向量).它的解釋要復(fù)雜一些:取定義個(gè)方向n(單位向量),S是過(guò)x0點(diǎn)與n垂直的平面區(qū)域C是其邊界曲線,取其方向與n的方向成右手螺旋,定義F在S上在n方向上的平均環(huán)流為7旋度場(chǎng)的意義(續(xù))當(dāng)
6、S
7、趨于零時(shí),其極限定義為定義F在x0點(diǎn)在n方向的環(huán)流curl(
8、F,n)(x0),由Stokes公式,curl(F,n)(x0)=curl(F)(x0)·n如果一個(gè)F的旋度為零,F稱為無(wú)旋場(chǎng).例如梯度場(chǎng)就是無(wú)旋場(chǎng).8
