12數列有界性問題的研究

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1、專題：數列有界性問題的研究一.問題提岀問題1:設數列｛a,】｝滿足：a3=8,(aw+1-an-2)(2aw+I-aw)=O(nGN*),則a｝的值大于20的概率為.1數列的生成方式問題2：已知數列｛陽｝滿足：6Z=m(m為正整數),中，當①為偶數時，3a”+1,當為奇數時。冇可能的取值為.4/5/32二、思考探究探究1：設數列｛坷｝滿足：agN")是整數，且綣+1-①是關于兀的方程錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的根.(1)若6=4,且n>2時,4<<8,求數列｛%｝的前100項和S100；(2)若a,=-8,a6=l,S.an

2、+i—an是關于x的方程x2+(an+i—2)x—2an+i=0的根,可得:(色+1一色—2)(2%-舛)=o(ngnJ,所以對?一?切的正整數斤，an+l=afl+2或％+1,若a】=4,￡Ln>2時，4

3、,3因為a6=l,所以數列也」的前6項只能是-8,-6?-4,-2,-1,1mh>4,/?g7V*時，°間=色+2所以，數列｛編｝的通項公式是:探究2:在數列｛“｝中，已知d]=l,且對于每個〃WN+，04/廠3，尬-2‘。4曠1成等差數列，其公差為2，如-1，如，如+】成等比數列，公比為］（1）令0”=%-1（"司+）,求數列｛%｝的通項公式;（2）是否存在常數M,對任意正整數n,a”WM恒成立？若存在求M的最小值，若不存在，請說明理由.71Q5X解：（1）由題設可知：如=5,仇=^~,…，i般地，令bn=^T.、葉

4、x因為如-1，血“，如+1成等比數列，公比為二，所以C7亦1寫，乂因為他

5、時1，如+2，。4”卜3成等差數列公差為2,所以仇+1=。4卄3=^+4與+4.①①式兩邊同加上一￥得仇+1—學=

6、血一￥）,所以｛仏一￥｝成等比數列公比為土，首項/?!—■y=—所以^-y=-

7、x（

8、y?*.所以z?n=y-

9、x（

10、y?（2）因為bll+-hn=（^n>Of所以數列｛仇｝是嚴格單調遞增由于對每個正整數〃，心曠］是%-3,%-2,%-1，%，%+1中的最大數,故得當WW4m+1時,族Wa4n-而。4“-1=兀=^—*X（+）"T<學，所以對每個正整數”，又若C?是小于學的任意一數，令心￥—少0,則當Qlog4土+1時，a4n->c.c不是數列｛禺｝上界.綜上所述，存在常數

11、M,對任意正整數弘恒成立，且M的最小值為乎.三、真題鏈接1.（2012年江蘇高考題）已知各項均為正數的兩個數列仗”｝和｛化｝滿足：%產‘+化匸，/證2?血7（1）設仇+】=1+—,ngN",求證：數列5是等差數列;=x/2A,nGN且｛%｝是等比數列,求坷和勺的值.證明:（1）由色+］,ngN*,b、=1+—,neN",血云7色乩）2_（如）2=（1+如）2半耗上仃anan（%+仇）所以數列是公差為1的等差數列.2_暫+化n+l（2）"心>0*P“+Z+訂,從而珀=丸，?e2J+仇皿*,設等比數列他｝公比9，由0知g>0.下證9=1.屁+兀若q〉1,則a}=—log

12、—時,an+1=axqn>V2與*矛盾,6若0vqvl,則ax=^>a2>1,故當n>log—時，an^=axqn<1與*矛盾,q?％ban+1綜上g=l,故an-a[y(ngN*),r.1<1.于是h{

13、數列伉｝的通項公式（用仏d表示）②設c為實數，對滿足m+n=3kHjni=-n的任意正整數m,n,k,不等式S”?+SH>cSk都成立。求證：c9的最叫?四、反思提升五、反饋檢測1-已知數列｛色｝的各項均為正整數，其麗5項和為若an+寸，陽是偶數，且5=29,則3%+1,%是奇數,.5；7/1+222.數列｛%｝滿足at=ae(0,1],且％】ci—1———,an>1,5若對于任意的neN總有％+3=色成