中考最值與對(duì)稱

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1、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題一、線段和最小問(wèn)題：1．兩定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)，兩段和最?。寒悅?cè)（思想方法：轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中來(lái)做）已知：點(diǎn)A(a,b)、B(m,n)在直線l：y＝kx＋b兩側(cè)，點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA＋PB最短時(shí)，求P的坐標(biāo)。理論依據(jù)：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②三角形任意兩邊之和大于第三邊。解法：連接AB與動(dòng)直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；此時(shí)，P′A＋P′B≥PA＋PB＝AB。過(guò)程：求出直線AB的解析式y(tǒng)＝mx＋n，與直線l：y＝kx＋b聯(lián)立成方程組y=mx+ny=kx+b，解方程組，方程組的解

2、就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。分類：①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，P′與P的橫坐標(biāo)相等；②當(dāng)l⊥y軸時(shí)，P′與P的縱坐標(biāo)相等；③當(dāng)l不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，求出AB的解析式后與直線l的解析式聯(lián)立成方程組，解這個(gè)方程組，方程組的解就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。2．兩定點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)，兩段和最小：同側(cè)（思想方法：轉(zhuǎn)化思想，將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)來(lái)做）已知：點(diǎn)A(a,b)、B(m,n)在直線l：y＝kx＋b同側(cè)，點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA＋PB最短時(shí)，求P的坐標(biāo)。理論依據(jù)：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②三角形任意兩邊之和大于第三邊。解法：作一個(gè)定點(diǎn)如點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱

3、點(diǎn)B′，連接AB′與動(dòng)直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；此時(shí)，P′A＋P′B≥PA＋PB′＝AB′。過(guò)程：先求點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再求直線AB′的解析式y(tǒng)＝mx＋n，與直線l：y＝kx＋b聯(lián)立成方程組y=mx+ny=kx+b，解方程組，方程組的解就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。分類：①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，P′與P的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)B與點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)C是BB′的中點(diǎn)，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求B′的坐標(biāo)，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐標(biāo)；②當(dāng)l⊥y軸時(shí)，P′與P的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B與點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)C是BB′的中點(diǎn)，可用中點(diǎn)坐

4、標(biāo)公式求B′的坐標(biāo)，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐標(biāo)；③當(dāng)l不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，第一步：由于BB′⊥l于點(diǎn)C，可得直線BB′的斜率m與直線l的斜率k互為負(fù)倒數(shù)，得m＝－，得直線BB′：y＝－x＋n，再把已知點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得到n，從而得出直線BB′的解析式y(tǒng)＝mx＋n；第二步：把y＝mx＋n與直線l：y＝kx＋b聯(lián)立成方程組y=mx+ny=kx+b，解方程組，方程組的解就是點(diǎn)C的坐標(biāo)；第三步：用中點(diǎn)公式x=y=或平移法（B到C的平移規(guī)則與C到B′的平移規(guī)則一樣）得到B′的坐標(biāo)；第四步：連接AB′，求出

5、直線AB′的解析式y(tǒng)＝px＋q；第五步：將直線AB′和直線l聯(lián)立成方程組y=px+qy=kx+b，解這個(gè)方程組，解為點(diǎn)P的坐標(biāo)。3．兩定點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)，兩段和最?。寒悅?cè)（思想方法：轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)來(lái)做）已知：點(diǎn)A(a,b)、B(m,n)在直線l：y＝kx＋b兩側(cè)，點(diǎn)P、Q是直線l上任意兩點(diǎn)，PQ＝a，當(dāng)PA＋QB最短時(shí)，求P的坐標(biāo)。理論依據(jù)：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②三角形任意兩邊之和大于第三邊。解法：將一個(gè)定點(diǎn)如點(diǎn)B沿QP方向平移a個(gè)單位得到點(diǎn)B′，連接AB′與動(dòng)直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；此時(shí)，PA＋QB

6、＝PA＋PB′≥AB′。過(guò)程：由平移求出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再求直線AB′的解析式y(tǒng)＝mx＋n，與直線l：y＝kx＋b聯(lián)立成方程組y=mx+ny=kx+b，解方程組，方程組的解就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。分類：①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q及點(diǎn)B與點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)加或減a，從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再求出直線AB′的解析式與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。②當(dāng)l⊥y軸時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q及點(diǎn)B與點(diǎn)B′的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)加或減a，從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再求出直線AB′的解析式與直

7、線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P。③當(dāng)l不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，第一步：過(guò)點(diǎn)P作PS⊥x軸于S，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥PS于R，由直線l的｜k｜＝PR：QR，用勾股定理得出PR與QR之間的比例關(guān)系，由平移知點(diǎn)B與點(diǎn)B′的坐標(biāo)之間的關(guān)系同點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間關(guān)系一致，從而得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)。第二步：求出直線AB′的解析式y(tǒng)＝mx＋n，再與直線l：y＝kx＋b聯(lián)立成方程組y=mx+ny=kx+b，解方程組，方程組的解就是點(diǎn)P的坐標(biāo)；應(yīng)用：（1）如圖，F(xiàn)、G兩個(gè)村莊分別位于河流的兩岸，現(xiàn)要在河上修一座橋MN，橋修在何處時(shí)，F(xiàn)、G兩村之間的路

8、程最短？解法：這個(gè)題目與類型①相同，將F村向河流方向平移河的寬度得到點(diǎn)F′，連接F′G，與G岸相交于點(diǎn)M，過(guò)M作MN垂直河岸，交另一岸于點(diǎn)N，連接FN，則MN就是就是修橋的位置?！　　　　　　　　　　　　　　D1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖2（2）如圖，直線l⊥x軸于點(diǎn)C，從點(diǎn)A出發(fā)先到達(dá)直線l上的任意一點(diǎn)M，再沿過(guò)M垂直于l的直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)y軸上的點(diǎn)N，最后從N出發(fā)到達(dá)點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，所走過(guò)的路程最