初等數(shù)學(xué)研究教案

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1、教案課程名稱：初等數(shù)學(xué)研究任課教師：陳宏道教師所在單位：統(tǒng)計系課程簡介《初等數(shù)學(xué)研究》是初等教育專業(yè)的專業(yè)課。它是在學(xué)生掌握了一定的高等數(shù)學(xué)理論知識的基礎(chǔ)上，繼教育學(xué)、心理學(xué)之后而開設(shè)的。本課程從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的需要出發(fā)，以基木問題分成若干專題進行研究，在內(nèi)容上適當(dāng)加深和拓廣，在理論、觀點、思想、方法上予以總結(jié)提高，并著重解決理論方面的問題。本課程的重點是培養(yǎng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)理論和基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的技巧?！冻醯葦?shù)學(xué)研究》包括《初等代數(shù)研究》和《初等幾何研究》兩部分，是初等教育專業(yè)開設(shè)的一門綜合性的選修

2、課程。根據(jù)高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)牛了解初等數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，思想方法等。理解初等數(shù)學(xué)理論知識，提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)水平。學(xué)習(xí)本課程，要求學(xué)生更好地掌握并處理中學(xué)數(shù)學(xué)的教材，還必須使學(xué)生理解中學(xué)數(shù)學(xué)中用描述的方法引進的一些數(shù)學(xué)概念怎樣給岀精確的定義，未作證明的或證明不完整的數(shù)學(xué)命題怎樣做出嚴(yán)格的證明，以及一些廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法的理論依據(jù)。本課程擺脫了中學(xué)數(shù)學(xué)里己有的基礎(chǔ)，以及高等數(shù)學(xué)里己作詳盡討論的知識，按照自己的邏輯系統(tǒng)來闡述初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，并進行研究，將避免造成與中學(xué)數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)

3、不必要的重復(fù)。對于中學(xué)數(shù)學(xué)中己經(jīng)解決的問題，將不在展開討論，己有的知識與技能將作為工具來應(yīng)用，在高等數(shù)學(xué)里已討論過的有關(guān)理論，可以直接指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的，將直接應(yīng)用，不再討論?！冻醯葦?shù)學(xué)研究》教案授課章節(jié)第1章第1節(jié)任課教師陳宏道教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時安排2學(xué)時使用教材和主要參考書石函早等編《初等數(shù)學(xué)研究教程》季素月等編《初等數(shù)學(xué)研究教程》李長明等編《初等數(shù)學(xué)研究》余元希等編著《初等代數(shù)研究》朱德祥編著《初等幾何研究》教學(xué)目的與要求：引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)系擴充的必要性及數(shù)系擴充的必須遵循的四個原則。教學(xué)難點與重點：重點：數(shù)系擴充

4、的方法難點：數(shù)系擴充必須遵循的原則教學(xué)內(nèi)容：§1數(shù)系擴充概述本節(jié)研究數(shù)系發(fā)展的原則和方法。若從數(shù)學(xué)學(xué)科本身發(fā)展的需要來看，擴充的必要性常從兩方面來說明：（1）某一運算的逆運算在原有數(shù)集中不能完全實施；（2）某一方程在原有數(shù)集屮無解.數(shù)的擴充方法一般有兩種.一種是在己建立的數(shù)系A(chǔ)中添加一類新數(shù)的集合方，構(gòu)成擴集B,例如，在非負(fù)有理數(shù)集Q+U{0}基礎(chǔ)上添加負(fù)有理數(shù)集Q-,構(gòu)成有理數(shù)集Q=Q+U{0}UQ..另一種方法是先用舊數(shù)集A中的數(shù)為材料構(gòu)成一個新數(shù)集B,然后指出新數(shù)集B中某一真子集與A相等（嚴(yán)格講，是B的某個真子集與A同構(gòu)）

5、，復(fù)數(shù)系的建立就是采用這一種方法.從數(shù)集A擴充為數(shù)集B,不論采用哪一種方法，都必須遵循下列原則：（1）AB,即集A集B的真子集；（2）集A小已定義的元素之間的基本關(guān)系和運算，在集B小也有相應(yīng)的定義，并且集B中的定義，對于B的子集A中的元素來說，與原來A中的定義一致；（3）在A屮無解的某類方程，在集B屮有解；（4）B是滿足上述三個原則的A的所有擴充中的最小擴充。由于“某一運算的逆運算在原由數(shù)集中不能完全實施”，“某一方程在原有數(shù)集屮無解”，使得數(shù)集擴充有著必要性。數(shù)集的過沖有“添加新元素法”和“構(gòu)造法”兩種。從數(shù)集A擴充到數(shù)集B,

6、不論采用哪一種方法都必須遵循四個原則。復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：自由選擇一本數(shù)學(xué)史教材，理解數(shù)對于整個數(shù)學(xué)理論的重要性，寫出一篇簡短的論文。授課章節(jié)第1章第2節(jié)任課教師陳宏道教學(xué)方法與手段講授法、探究式課時安排2學(xué)時使用教材和主要參考書石函早等編《初等數(shù)學(xué)研究教程》季素月等編《初等數(shù)學(xué)研究教程》李長明等編《初等數(shù)學(xué)研究》余元希等編著《初等代數(shù)研究》朱德祥編著《初等兒何研究》教學(xué)目的與要求：使學(xué)生理解和掌握自然數(shù)的序數(shù)理論，并能掌握和靈活地運用數(shù)學(xué)歸納法解題。教學(xué)難點與重點：重點：自然數(shù)的序數(shù)理論.難點：自然數(shù)的公理系統(tǒng)。教學(xué)內(nèi)容：§2

7、自然數(shù)本節(jié)研究自然數(shù)的序數(shù)理論。定義1非空集合N*中的元素叫做自然數(shù)，如果N的元素之I'可有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b二H),并滿足下列公理：(1)1WN*,1不是N中任何元素的后繼元素；(2)對N*中任何元素a,有唯一的a’eN；(3)對N*中任何元a,如果aHl,貝！1a必后繼于N中某一元素b；(4)(歸納公理)如果MgN*,且(D1EM；②若aWM,則/GM.那么，M二N*.這個系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng).定理1自然數(shù)的加法滿足結(jié)合律與交換律.即對任何a、b、ceN,有(1)a+(b+c)=(a+b)+c；(2)

8、a+b=b+a.證明(1)設(shè)a、b是給定的兩個自然數(shù)，令集合M二{c

9、a+(b+c)=(a+b)+c}?由于(a+b)+1=(a+b)'二a+b‘=a+(b+l),所以1WM.若cGM,即(a+b)+c二a+(b+c),貝ija+(b+c*)=a+(b+c)'=