最值、范圍專題

最值、范圍專題

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1、最值、范圍、存在性問題題型一最值問題[典例](2016?廣州市高考模擬)定圓M:(x+V3)2+/=16,動(dòng)圓N過點(diǎn)F速,0)且與圓M相切,記圓心N的軌跡為E.(1)求軌跡£的方程;(2)設(shè)點(diǎn)力,B,C在E上運(yùn)動(dòng),/與B關(guān)于原點(diǎn)對稱,且AC=CB,當(dāng)△MC的面積最小時(shí),求直線力3的方程.[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)0)在圓M:(x+^/3)2+/=16內(nèi),所以圓N內(nèi)切于圓M.因?yàn)?/p>

2、AW]+

3、AT71=4>

4、F7W],所以點(diǎn)N的軌跡E是以0),F心0)為焦點(diǎn)的橢圓,且2q=4,c=£,所以b=?所以軌跡E的方程為1.⑵①當(dāng)為長

5、軸(或短軸)時(shí),依題意知,點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)(或左右頂點(diǎn)),此時(shí)S^abc=~^'OC'AB=1,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)其斜率為k,直線AB的方程為y=kx,聯(lián)立方程,所以

6、CMF=易+yA=(鳥由MC

7、=

8、CB

9、知,厶ABC為等腰三角形,O為45的中點(diǎn),OC丄AB,所以直線OC的方程為y=—^x,由<4(1+F)/4(1+F)4(1+F)=2Sg嚴(yán)“卜喬7右獷飛(葉4訕2+外所以SiabcA§當(dāng)且僅當(dāng)1+4斥=疋+4,即k=±時(shí)等號成立,Q此時(shí)△/3C而積的最小值是弓.QX因?yàn)?>§,所以△力3C

10、面積的最小值為此時(shí)直線AB的方程為y=x或尹=—兀.[方法點(diǎn)撥]圓錐曲線中最值問題的兩種類型和兩種解法(1)兩種類型①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.(2)兩種解法①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.[提醒]求最值問題時(shí),一定要注意對特殊情況的討論.如直線

11、斜率不存在的情況,二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等.[對點(diǎn)演練]已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為尺(一1,0),尸2(1,0),且尸2到直線X—品一9=0的距離等于橢圓的短軸長.(1)求橢圓C的方程.(2)若圓F的圓心為F(0,/)(/>0),且經(jīng)過鬥,F(xiàn)"0是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓F外,過點(diǎn)0作圓P的切線,切點(diǎn)為M,當(dāng)?shù)淖畲笾禐榇鋾r(shí),求/的值.22解:(1)設(shè)橢圓的方程為手+”=1(0>/)>0).11—91依題意可知,2b=^~L=4i所以b=2.又c=l,故a2=b2+c2=5f22故橢圓C的方程為j+^-=1.(2)由題意

12、,圓P的方程為:x2+(y—/)2=/2+1,設(shè)Q(x(),為),因?yàn)镻M丄0M,所以

13、0M

14、=y\PQ^-r-=px汁血一/)2—/2—1=^-

15、lvo+4r)2+4+4/2.若一4/W—2,即總*,當(dāng)y0=~2時(shí),

16、0M

17、取得最大值,IMUx=〈4/+3=^2^,31解得舍去)?若一4/>—2,即0W*,當(dāng)yo=~4t時(shí),

18、QM

19、取最大值,且IQMma嚴(yán)乜4+才=羋,解得/2=

20、.又OVfV二,所以t=4?綜上可知,當(dāng)/=爭時(shí),OM的最大值為書題型二范圍問題[典例](2016-浙江高考)如圖,設(shè)橢圓缶+F=i(q

21、i).(1)求直線y=kx+被橢圓截得的線段長(用°,&表示);(2)若任意以點(diǎn)力(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.[解](1)設(shè)直線y=kx+被橢圓截得的線段為/幾尹=也+1,X2.7(一z+”=l,az得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,.,c2ci2k故X1=o,X2=--^-^.因此鍛鬥=pl+仙-X2

22、=加臣胃(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,0滿^AP=AQ.記直線/P,力0的斜率分別為島,k2f且島,局>0,£]工局

23、?由⑴知,AQ=2胡燈寸1+啟2孑比2卜/1+涇故1+/后=1+/於,所以(后一辰)[1+后+居+/(2—/)后居]=0.由島工&2,kf?2>0得1+用+懇+<72(2—/)&彼=0,因此(古+1)(右+1)=1+/(/—2).①因?yàn)棰偈疥P(guān)于冷,他的方程有解的充要條件是1+/(/—2)>1,所以a>y[2.因此,任意以點(diǎn)力(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為IVqW邁.LCa//—1由=a,得0GW*.所求離心率的取值范圍為(0,芳[方法點(diǎn)撥]解決圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法(1)利用圓錐

24、曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求岀參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域

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