淺談構(gòu)造圖形在解題中的運(yùn)用

《淺談構(gòu)造圖形在解題中的運(yùn)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、數(shù)與形完美的結(jié)合——淺談構(gòu)造思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用構(gòu)造思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要解題思想，它貫穿于整個(gè)初等數(shù)學(xué)之中.巧妙的構(gòu)造可以建立匕知與未知、條件與結(jié)論、數(shù)與形的體系?體現(xiàn)構(gòu)造思想的方法眾多，而構(gòu)造圖形乂是構(gòu)造思想的重要部分?因?yàn)槔脙汉螆D形能直觀地反映我們所研究的量之間的相互關(guān)系，所以在解題時(shí)，如能借助圖形幫助思考，常常會(huì)收到事半功倍的效果.一、利用圖形來幫助理解數(shù)學(xué)中的概念、定理、法則、公式圖形作為一種兒何結(jié)構(gòu)，它可以將量的關(guān)系非常直觀的顯示出來，甚至超越了推理、論證，而將一切凝聚于一圖，

2、使人一目了然.如在新教材（華師人版）八年級(jí)教科書中，在學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，利用兒何背景圖，讓學(xué)生通過用式子表示圖形面積的運(yùn)算加深對(duì)公式的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.(a+b)(a~b)a2ta1I—u>gbf(a+b)2a2abab-b22ab+b2又如圖（1）表示求自然數(shù)列前n項(xiàng)的和nn-ln-2…321123…n-2n-ln圖（1）Sn=1+2+3+…+nT+n二1/2n(n+1)再如勾股定理是初等幾何中最重要的定理，其公式a2+b2=c2可解釋為：以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于分

3、別以兩直角邊為邊長的正方形的面積之和.三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個(gè)和等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小止方形組成的.每個(gè)直幷三幷形的面積為ab/2；中間小正方形邊長為b-a,則面積為（b-a）2.于是便可得如下的式了:化簡后便可得:4X(ab/2)+(b-a)2=c2勾股圓方圖趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí).他用兒何圖形的截、害0、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，

4、既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)榕樹立了一個(gè)典范.以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展?例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已.二、利用圖形來幫助解決數(shù)學(xué)問題.圖形本身具有的量的性質(zhì)：線有長度，面有面積，體有體積?構(gòu)造圖形可以將原來的一般的抽象的量轉(zhuǎn)化成比較具體的幾何：S?1.利用構(gòu)造圖形解決一類兒何證明題有一道流傳甚廣的習(xí)題如下：“已知圖（2）屮的ABCD、DCEF、FEGH都是

5、正方形，求證Z1+Z2+Z3二90°.”圖（2）圖（3）向量等許多方法證明，但都似乎不及圖（3）這道題可用兒何、三角、復(fù)數(shù)、所示的“無字的證明”優(yōu)美！1.利用構(gòu)造圖形解決一類兒何計(jì)算題如求以站,厶2+4滬(其中a,b,c為正數(shù))為三邊的三角形的面積.圖(4)構(gòu)造如圖(4)所示的長方形ABCE,其中AB=2a,BC=2b,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則三角形DEF的三邊長分別為丿4/+/異,腫+滬,J/+4戸,由圖可知Sadei?=Sabcd~Sajv-d-Sadi-c-SABEi；=4ab—a

6、b—ab—l/2ab=3/2ab利用構(gòu)造圖形的方法解題，有時(shí)比用其他的方法更加直觀、簡捷、明了，而且不失嚴(yán)謹(jǐn)性.因此常常是一種美的享受，令人冋味無窮！2.利用構(gòu)造圖形證明代數(shù)不等式如已0

7、別在AB、AD上取AE二a,AG二b,過E、G分別作AD.AB的平行線，將CD、BC于F、H,EF、GH交于0點(diǎn)，易得0A=^a2+h2,OB=^(1—ci)2+h2,0C二J(1—d)，+(1—/?)2,0D=y/a2+(1—b)2.連接對(duì)角線AC、BD得AOBD二VI,由0A+0C2AC,OB+ODNBD得證.3.利用構(gòu)造圖形解方程組2乍1如：已知x、y、z為正數(shù),Q+）汀+xy=1且＜b+z?+yz=3,求x+y+z的值。z2+x2+zx=4分析：注意到三個(gè)方程的結(jié)構(gòu)類似余弦定理a2=b2+

8、c2-2bccosA,只要分別令其中的兩邊夾角為120°即可.構(gòu)造圖形:x2+y2+2-xy-COS120=1y2+z2+2?yz?cosl20=(V3)z2+x2+2-zx-cosl20=2，即xy+yz+zx二2,把方程組相加,得2(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)乂(x+y+z)2=(x'+y'+z')+2(xy+yz+zx),原方程組即x、y、z>0,x+y+刁二。.當(dāng)代數(shù)關(guān)系比較抽象時(shí)，若能對(duì)它賦予幾何意義，從而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，使問題從復(fù)雜變?yōu)楹唵?事實(shí)