解析幾何范圍最值問題(教師)

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1、第十一講解析幾何范圍最值問題解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理.一、幾何法求最值【例1】拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過點(diǎn)M(0，－2)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足＋＝(－4，－12)．(1)求直線l和拋物線的方程；(2)當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)

2、動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求△ABP面積的最大值．[滿分解答]　(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y＝kx－2，拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)．由得x2＋2pkx－4p＝0設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.所以＋＝(－4，－12)，所以解得故直線l的方程為y＝2x－2，拋物線方程為x2＝－2y.(2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知當(dāng)拋物線過點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，△ABP的面積最大．對(duì)y＝－x2求導(dǎo)，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－x＝－2，即P(－2，－2)．此時(shí)點(diǎn)

3、P到直線l的距離d＝＝＝.由得x2＋4x－4＝0，則x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，

4、AB

5、＝·＝·＝4.于是，△ABP面積的最大值為×4×＝8.二、函數(shù)法求最值【示例】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．(1)由e＝＝＝，得a＝b，橢圓C：＋＝

6、1，即x2＋3y2＝3b2，6設(shè)P(x，y)為C上任意一點(diǎn)，則

7、PQ

8、＝＝，－b≤y≤b.若b＜1，則－b＞－1，當(dāng)y＝－b時(shí)，

9、PQ

10、max＝＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)，若b≥1，則－b≤－1，當(dāng)y＝－1時(shí)，

11、PQ

12、max＝＝3，得b＝1.∴橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)法一　假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由題意可得S△AOB＝

13、OA

14、·

15、OB

16、sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)取等號(hào)，這時(shí)△AOB為等腰直角三角形，此時(shí)圓心(0,0)到直線mx＋ny＝1的距離為，則＝，得m2＋

17、n2＝2，又＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，即存點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，滿足題意，且△AOB的最大面積為.(12分)法二　假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M(m，n)滿足題意，則有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤，又設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①把n2＝1－代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，則Δ＝8m2(3－m2)≥0，∴②而S△AOB＝

18、OA

19、·

20、OB

21、sin∠AOB＝sin∠AOB，當(dāng)∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值，此時(shí)·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝·＝，∴x1x2＋＝0，

22、即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝或m2＝3(舍去)，6∴m＝±，n＝±＝±，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，使得S△AOB取得最大值.老師叮嚀：當(dāng)所求的最值可以表示成某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，我們常常先建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)方法求出對(duì)應(yīng)的最值，稱這種方法為函數(shù)法，這是解析幾何問題中求最值的常用方法．函數(shù)法是研究數(shù)學(xué)問題的一種最重要的方法，用這種方法求解圓錐曲線的最值問題時(shí)，除了重視建立函數(shù)關(guān)系式這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，這些限制范圍恰好制約了

23、最值的取得，因此在解題時(shí)要予以高度關(guān)注．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三.定義法求最值在求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí),通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn),建立函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解。但是,一味的強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn),有時(shí)會(huì)使思維陷入僵局。這時(shí),若能考慮用圓錐曲線的定義來求解,問題就顯得特別的簡單。例1、如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是（）A、B、C、D、分析：此題的得分率很低，用函數(shù)觀點(diǎn)求解困難重重。若能利用雙曲線的第一定義，則勢如破竹。解法如下：連結(jié)MA，由雙曲線的第一定義可得：當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C

24、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。如果此題就到此為止，未免太可惜了！于是筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作