第二節(jié)運用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略

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1、第二節(jié)運用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略數(shù)形結(jié)介思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽彖問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅冑觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越.考試大綱的說明中強調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結(jié)介的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的兒何圖形問題來解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性

2、，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法ifti不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考杳以山'形'到'數(shù)’的轉(zhuǎn)化為主.”考試要求展望2011年高考考查數(shù)形結(jié)合思法，可能會與以下內(nèi)容為載體來命題：①函數(shù)與圖彖的對應(yīng)關(guān)系；②曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；③以兒何元索和兒何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)禽有明顯的兒何意義.題型一數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用例1.已知0>（）Hd工1,試求使方程log“（X一ak）=logf（X2一/）有解的實數(shù)k的取值范圍.點撥:利用對數(shù)相等的意義，同時

3、構(gòu)造兩個函數(shù)，通過兩數(shù)的圖象有沒有交點進而得岀方程有沒有解，從而確定;IM的取值范圍.解：原方程等價于0。-心J/—/構(gòu)造曲線C:y=yjx2-a2,直線l:y=x-ak從而使問題轉(zhuǎn)化為直線/和雙曲線C：兀2一）,,2=/（），no）在兀軸上半部分冇交點，求實數(shù)比的取值范圍，如圖8-2所示:有三條臨界直線厶、厶、厶①當I在厶和厶Z間時，直線/在y軸上的截距一ak滿足-a<-ak<0時，/與C有一個交點,解之可得②當/在厶上方時，直線I在V軸上的截距-ak滿足a<_ak時，/與C有一個交點，解Z可得k<-綜介①②可得

4、，所求R的取值范圍是*^<一1或()<&<1}易錯點：解方程時很可能擴人x的取值范I亂另外數(shù)形結(jié)合不會利用雙曲線漸近線.變式與引申1:求函數(shù)y=x2+x-a+的值域.題型二數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用例2.若不等式』4_分mi)的解集為區(qū)間［訕,且b—Q=1,點撥：通過數(shù)形結(jié)介的思想把一個解不等式的問題轉(zhuǎn)化為求一條直線與半圓何時有交點.解：令)'i=』4-X2,y2=k(x+1).其刀p意圖如圖8-3:若k>0,要滿足

5、-1,從而R不存在.易錯點：如不能聯(lián)想到直線與関的圖象,則思維很容易受阻.變式與引申2：已知函數(shù)/(x)=

6、lgx

7、-(-r有兩個零點坷宀，則有()A.x{x2<0B.x{x2=1C?x{x2>1D.0

8、,則GB+GC=2G0,且死萬€=0—.—.1—.———1———???AGBC=-{AB+AC-2G0)BC=-(AB^AC)?BC121————1—2—27=-(AB+AC)AC-AB)=-(AC-AB)=——.222易錯點：不能將走表示成

9、(AB+AC-2Gd),不能發(fā)現(xiàn)死與就的垂直關(guān)系.變式與引申3：(1)如圖8-5,OMUAB，點P在由射線0M、線段0B及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，口0P=xOA+yOB,則兀的取值范圍是當x=-丄時，y的取值范圍是?2（2）如圖8-6,4B是半圓0的直徑

10、，C、D是43三等分點，M、N是線段的三等圖8-6分點.若0A=6i則MD?NC的值是（）A.34B.26C.10D.2題型四數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例4.求函數(shù)y=+1+-4x+8最小值.點撥：由題意可知，函數(shù)的定義域為R,若從代數(shù)角度考慮，確實比較復(fù)雜；若借助兩點間的距離公式，轉(zhuǎn)化為幾何問題，則非常容易解決解：y=兀2—4兀+8=J（?！猳）2+（o—1）2+J（兀—2）2+（0—2）2令4(0,1),B(2,2),P(x,0)則問題化為:在兀軸求一點P（x,0）,使得PA+PB取最小值???人關(guān)于兀軸的對稱點

11、為”（0廠1）.?.（PA

12、+PB

13、）=AfB=7（2-0）2+（2+1）2=V137min易錯點：如果用代數(shù)方法（如兩邊平方等）去求解問題,往往會陷入中，不得其解.而將代數(shù)問題幾何化則使問題變得容易解決.變式與引申4：已知x{>x2>x3>0,則。旦（2西+2）,：」。艮3+2）,心1喝3+2）的大小關(guān)系是（）.西兀2兀3A.b