數學人教版九年級上冊公式法解方程

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1、21.2.2公式法教學內容1.一元二次方程求根公式的推導過程;2.公式法的概念;3.利用公式法解一元二次方程.教學目標理解一元二次方程求根公式的推導過程,了解公式法的概念,會熟練應用公式法解一元二次方程.復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推導公式,并應用公式法解一元二次方程.重難點關鍵1.重點:求根公式的推導和公式法的應用.2.難點與關鍵:一元二次方程求根公式法的推導.教學過程一、復習引入1、前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方法”,比如,方程(1)

2、x2=4(2)(x-2)2=7提問1這種解法的(理論)依據是什么?提問2這種解法的局限性是什么?(只對那種“平方式等于非負數”的特殊二次方程有效,不能實施于一般形式的二次方程。)2.面對這種局限性,怎么辦?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式。)(學生活動)用配方法解方程2x2+3=7x(老師點評)略總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結,老師點評).(1)現將已知方程化為一般形式;(2)化二次項系數為1;(3)常數項移到右邊;(4)方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方,使左邊配

3、成一個完全平方式;(5)變形為(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程無實根.二、探索新知用配方法解方程(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0(3)如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根,請同學獨立完成下面這個問題.問題:已知ax2+bx+c=0(a≠0),試推導它的兩個根x1=,x2=(這個方程一定有解嗎?什么情況下有解?)分析:因為前面具體數字已做得很多,我們現在不妨把a、b、c也當成一個具體數

4、字,根據上面的解題步驟就可以一直推下去.解:移項,得:ax2+bx=-c二次項系數化為1,得x2+x=-配方,得:x2+x+()2=-+()2即(x+)2=∵4a2>0,4a2>0,當b2-4ac≥0時≥0∴(x+)2=()2直接開平方,得:x+=±即x=∴x1=,x2=由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程時,可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當b2-4ac≥0時,將a、b、c代入式子x=就得到方程的根.(公式所出現的運算,恰

5、好包括了所學過的六中運算,加、減、乘、除、乘方、開方,這體現了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有兩個實數根.例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-x+=0(4)4x2-3x+2=0分析:用公式法解一元二次方程,首先應把它化為一般形式,然后代入公式即可.補:(5)(x-2)(3x-5)=0三、鞏固練習教材P12練習1.(1)、(3)、(

6、5)或(2)、(4)、(6)四、應用拓展例2.某數學興趣小組對關于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列問題.(1)若使方程為一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程為一元二次方程m是否存在?若存在,請求出.你能解決這個問題嗎?分析:能.(1)要使它為一元二次方程,必須滿足m2+1=2,同時還要滿足(m+1)≠0.(2)要使它為一元一次方程,必須滿足:①或②或③解:(1)存在.根據題意,得:m2+1=2m2=1m=±1當m=1時,m+1=1+1=2≠0當m=-1時,m+1=

7、-1+1=0(不合題意,舍去)∴當m=1時,方程為2x2-1-x=0a=2,b=-1,c=-1b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9x=x1=,x2=-因此,該方程是一元二次方程時,m=1,兩根x1=1,x2=-.(2)存在.根據題意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0因為當m=0時,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0所以m=0滿足題意.②當m2+1=0,m不存在.③當m+1=0,即m=-1時,m-2=-3≠0所以m=-1也滿足題意.當m=0時,一元一次方程是x-2x-1=0,解得:x

8、=-1當m=-1時,一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此,當m=0或-1時,該方程是一元一次方程,并且當m=0時,其根為x=-1;當m=-1時,其一元一次方程的根為x=-.五、歸納小結本節(jié)課應掌握:(1)求根公式的概念及其推導過程;(2)公式法的概念;(3)應用公式法解一元二次方程的步驟:1)將所給的方程變成一般形式,注意移項要變號,盡量讓a>0.2)找出系數a,b,c,注意各項

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