數(shù)形結(jié)合論文素材

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1、一、緒論恩格斯說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”.數(shù)學(xué)屮的兩人研究對彖“數(shù)”和“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素.數(shù)形結(jié)合是貫穿丁?數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線，使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深遠(yuǎn).一方血，借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀感；另一方而，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論.“數(shù)”和“形”的信息轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑.數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”和“形”的“橋”，它不僅是一種重要的解題方法

2、，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想?高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的思想更是貫穿始終.二、研究的目的和意義數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚教授說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非數(shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的育?觀,將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形彖思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題兒何化，兒何問題代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合思

3、想方法是屮學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的粘箭之一，是把許多知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多抽象問題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)牛進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問題，學(xué)牛就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)牛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.尤其是對丁較難問題，學(xué)牛若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性.同吋，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問題就能迎刃而解.三、數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)主解題能力中的作用作為一種數(shù)學(xué)思想方法，

4、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)Z間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.其小數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論Z間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種數(shù)形結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決.（一）“以形助數(shù)”例1點(diǎn)是橢圓—+話=1上一點(diǎn)，它到其中一個(gè)焦點(diǎn)耳的距離為

5、2,"為加巧的中點(diǎn)，0表示原點(diǎn)，則

6、0綱二?亠分析：（數(shù)形結(jié)合法）設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為耳，^\MF^MF2=2a,卩而^=5,

7、^

8、=2:.MF2=8^又注意到M0各為胚許、鞏耳的中點(diǎn)心:.ON是型碼瑪?shù)闹形痪€心''：.ON=f

9、嗎=1x8=42227^11r（代數(shù)法）若聯(lián)想到第二定義有

10、M屑

11、=。-&心，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求加耳中點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出

12、0N

13、,但這樣就增加了計(jì)算量，方法顯得比較復(fù)雜.點(diǎn)評:運(yùn)川數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而H能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，人大簡化了解題過程?

14、在解選擇題、填空題中更顯H優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，以開拓自己的思維視野.例2若關(guān)于x的方程，+2抵+3尤=0朗兩根都在-環(huán)口3之間，求疋的取值范圍.分析：(數(shù)形結(jié)合法)令/(x)=/+2心+3上，q函數(shù)/(X)的圖象與x軸交點(diǎn)?的橫坐標(biāo)就是方程《/(x)=0的解，由y=f(x)的圖象可知，要使二根都在-1,3之間，a/(-I)>0心)<0只需滿定/⑶>0可解得—1代數(shù)法)由一元二次方程的根的判別式和求根公式，根據(jù)題意d2可得-2^4-VA<3>-1解得一1

15、(-1,0)Q點(diǎn)評:數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽彖的數(shù)學(xué)問題直觀化、牛動(dòng)化，能夠變抽象思維為形彖思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，簡化計(jì)算.例3求函數(shù)y=竺土的值域.計(jì)cosx-2分析：(數(shù)形結(jié)合法)y=竺斗的形式聯(lián)想到斜率公式尹二準(zhǔn)二21,“COS兀一吃x2一X]八曲+2表示過兩點(diǎn)好(2,―刁，p(c°sx,smx)的直線的斜率.cosx-2由于點(diǎn)尸在單位圓X2+y=1上所以%直

16、^得尹c(diǎn)osx-2y=smx+2,ag-2"sinx-ycosx=-2y-2^ly2+1sin(x+飼=-2y-2aw-2y-2—:.sm(x+Q)=?二=，而

17、sin(x+朝

18、蘭1心解不等式得字點(diǎn)評:許多函數(shù)的最值問題，存在著兒何背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種垂要方法，通過圖形給問題以兒