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《數(shù)值分析習(xí)題選講.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第一章1、當(dāng)用數(shù)值計(jì)算方法求解一個(gè)實(shí)際的物理運(yùn)動(dòng)過程中，一般要經(jīng)歷哪幾個(gè)階段？在哪些階段將有哪些誤差產(chǎn)生？答：實(shí)際問題?數(shù)學(xué)模型?數(shù)值方法?計(jì)算結(jié)果在數(shù)學(xué)模型階段產(chǎn)生模型誤差和觀測(cè)誤差，在數(shù)值方法階段產(chǎn)生方法誤差、傳播誤差和舍入誤差。第二章2.1利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項(xiàng)式（結(jié)果要簡(jiǎn)化）：x-101/21（1）if-3-1/201ix-101/21（2）if-3/2001/2i解(2)：方法一.由Lagrange插值公式L(x)?f?l(x)?f?l(x)?f?l(x)?f?l(x)300112233x(x?1)(x?1)211l(x)
2、???x(x?)(x?1),032(?1)(?)(?2)32(x?1)(x?1)(x?1)l(x)?2?2(x2?1)(x?1)，1122(x?1)(xx?1)82lx()???(x?1)x,23???1(1)3222(x?1)x(x?1)21l(x)??(x?1)x(x?).3122?1?22可得：L(x)?x(x?12)3證明(2)：利用Newton插值多項(xiàng)式N(x)?f(x)?f[x,x](x?x)???f[x,?,x](x?x)?(x?x)n00100n0n?1(x?x)?(x?x)1nf(x)??l(x)0(x?x)?(x?x)010n差商表：f(x)一
3、階二階…n階差商x101x01x?x011??0(x?x)(x?x)0201????1x00n(x?x)?(x?x)010n代入(?)式有：x?x(x?x)?(x?x)00n?1N(x)?1????.nx?x(x?x)(x?x)?(x?x)0101020nl(x)為n次代數(shù)多項(xiàng)式，由插值多項(xiàng)式的唯一性：0有l(wèi)(x)?N(x).□0n732.3若f(x)?x?x?1，問：017018f[3,3,?,3]??;f[2,2,?,2]??.73解f(x)?x?x?1.有：(7)(8)017f(?)018f(?)f[3,3,?,3]?=1,f[2,2,?,2]??0.7!8
4、!x2.4設(shè)y=f(x)=e,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多項(xiàng)式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下:求f(1.2)用Newton前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4求f(2.8)用Newton后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4第四章4.1求系數(shù)A,A和A，使求積公式1231f(x)dx?Af(?1)?Af(?1/3)?Af(1/3),?123?1對(duì)于次數(shù)?2的一切多項(xiàng)式都是精確成立的.解：求積公式1f(x)dx?Af(?1)?Af(?1)?Af(1)??1123332是一個(gè)插值型求積公式，令
5、f(x)?1,x,x得：A?A?A?2,12311?A?A?A?0,1233311A?A?A?2，192933解得：A?1，A?0，A?3122324.2確定參數(shù)a使求積公式的代數(shù)精度盡可能地高h(yuǎn)hf(x)dx?[f(0)?f(h)]?ah2[f?(0)?f?(h)].(*)?02n解令：f(x)?x，n?2得：1n?11n?1nn?1h?h?ah,n?1211n?1??an,a?n?122n(n?1)(*)公式對(duì)f(x)?1、x精確成立.當(dāng)n?2時(shí)，a?1，n?3時(shí)，a?1，n?4時(shí)，a?3，121240故：當(dāng)取a?1時(shí)，（*）具有3次代精確度.□124.3求數(shù)
6、值微分公式的余項(xiàng).f?(x)?(?3f(x)?4f(x?h)?f(x?2h))/2h.0000解：于x，x?2h，x?h三點(diǎn)作f(x)的Lagrange插值多項(xiàng)式：000(x?x?h)(x?x?2h)00L(x)?f(x)2202h(x?x)(x?x?2h)00?f(x?h)20?h(x?x)(x?x?h)00?f(x?2h).202h2x?2x?3h0L?(x)?f(x)2202h(2x?2x?2h)(2x?2x?h)00?f(x?h)?f(x?2h).2020?h2h令x?x，得：0f?(x)?(?3f(x)?4f(x?h)?f(x?2h))/2h0000余項(xiàng)
7、：因?yàn)?3)f(?)R(x)?f(x)?L(x)?(x?x)(x?x?h)(x?x?2h)20003!有(3)f(?)2R?(x)?f?(x)?L?(x)?h.002034.4試給出[,]ab上的復(fù)化梯形求積公式，并描述其自適應(yīng)算法。解：記Tn為n等分[a,b]后用復(fù)化梯形公式算得的積分值，于是nhTn??[f(xk?1)?f(xk)]2k?1將[a,b]作2n等分，則[x,x]?[x,x]?[x,x]k?1kk?1k?1/2k?1/2k此時(shí)，[x,x]上的積分值為k?1kh/2h/2[f(x)?f(x)]?[f(x)?f(x)]k?1k?1/2k?1/2k22于
8、是nh/2
