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1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用摘要數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，在研究過(guò)程中，一方面，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予幾何意義，往往變得非常的直觀形象，另一方面，一些圖形的屬性又可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻，這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開(kāi)拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要的途徑。數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，在高中階段用的較多的是以形助數(shù)。數(shù)量關(guān)
2、系如果能有效地結(jié)合圖形，往往會(huì)使抽象問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)處理一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的，在選擇題，填空題中，數(shù)形結(jié)合更能顯示出其簡(jiǎn)捷的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用解題第一章緒論數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，故數(shù)學(xué)的研究是圍繞數(shù)和形展開(kāi)的，而數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)在于數(shù)量關(guān)系決定著幾何圖形屬性，幾何圖形的屬性反映著數(shù)量關(guān)系[1]。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，數(shù)形結(jié)合既是一種常用的數(shù)學(xué)方法又是一種數(shù)學(xué)思想。由此可見(jiàn)，在高中階段，掌握并熟練
3、運(yùn)用這一思想是十分必要的。本文針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的形成和演進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)，以及在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用范圍和數(shù)形結(jié)合思想在解題中的實(shí)際應(yīng)用做了淺顯成述。第二章數(shù)形結(jié)合思想的概述和歷史演進(jìn)2.1數(shù)形結(jié)合思想的概述數(shù)學(xué)的兩個(gè)最古老、最普遍的研究對(duì)象是數(shù)、形，在某些條件的作用下，兩者可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可以分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形的聯(lián)系則稱(chēng)作數(shù)形結(jié)合，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面[1]。以形助數(shù)，即借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的關(guān)系；以數(shù)助形，即借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性。2.2數(shù)形
4、結(jié)合思想的歷史演進(jìn)隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)得到了不斷的拓展和充實(shí)，數(shù)學(xué)中最原始的研究對(duì)象數(shù)與形也在不斷地變化，從最初因需要而產(chǎn)生數(shù)到歐幾里德撰寫(xiě)的《幾何原本》，再到從笛卡爾創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系到近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)形結(jié)合一直伴隨其行。在古希臘數(shù)學(xué)時(shí)期，畢達(dá)哥斯拉學(xué)派在研究數(shù)學(xué)時(shí)，就借助形來(lái)歸納數(shù)的性質(zhì)，這便是早期的“數(shù)”與“形”結(jié)合的體現(xiàn)。數(shù)軸的建立使人類(lèi)對(duì)數(shù)與形的統(tǒng)一有了初步的認(rèn)識(shí)，把實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，數(shù)可視為點(diǎn)，點(diǎn)可當(dāng)作數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算可以幾何化。1637年，笛卡爾在其《幾何學(xué)》
5、中，首次提出了點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有數(shù)的代數(shù)方程來(lái)表示和研究曲線[2]。笛卡爾把數(shù)軸（一維）擴(kuò)展到平面直角坐標(biāo)系，把有序數(shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而使得平面曲線的點(diǎn)集與二元方程組的解集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。于是就可以用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，把幾何研究轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的代數(shù)的研究。第三章淺談數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)“數(shù)”和“形”兩者是緊密聯(lián)系的。我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助于“形”，而在探討形”的性質(zhì)時(shí)，又離不開(kāi)“數(shù)”的支撐。現(xiàn)階段使用的教材，“代數(shù)”與“幾何”融和為一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，更體現(xiàn)了“數(shù)”
6、與“形”的結(jié)合，因此教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類(lèi)比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助。在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生逐步有數(shù)形結(jié)合思想這一思想理念，并使之成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具。3.1在教學(xué)過(guò)程中適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過(guò)程中要盡量擺脫對(duì)代數(shù)問(wèn)題的抽象討論。更多地把代數(shù)里的東西用圖形表示出來(lái)。如相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何解釋?zhuān)朔ü降拿娣e法的驗(yàn)證等等，將較難、抽象的概念、定理具體化。
7、在幾何圖形的一些基本性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，多讓學(xué)生動(dòng)手量一量，自己發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系，對(duì)一些特殊的幾何圖形，還可以賦值研究。3.2通過(guò)典型例題的分析講解突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)對(duì)例題的實(shí)際講解，凸顯出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，使學(xué)生將這一思想由一種方法提升為一種系統(tǒng)的解題理論。例1．二次函數(shù)的圖象大致如圖1所示，試確定、、與的符號(hào)。二次函數(shù)(≠0)中的、、決定函數(shù)的形狀和位置，判別式的符號(hào)把拋物線與軸的位置關(guān)系和一元二次方程的根聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。圖1第四章數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)
8、內(nèi)容的主線之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決諸多的問(wèn)題：4.1集合問(wèn)題在集合運(yùn)算中借助與數(shù)軸、維恩圖來(lái)處理集合的交集、并集、補(bǔ)集等運(yùn)算，從而是問(wèn)題簡(jiǎn)單，運(yùn)算快捷。4.2函數(shù)問(wèn)題借助圖形研究函數(shù)的性質(zhì)、最值等問(wèn)題。4.3方程與不等式問(wèn)題處理方程時(shí)，把方程的問(wèn)題看做兩函數(shù)圖形的交點(diǎn)問(wèn)題；處理不等式時(shí)，從所給條件和結(jié)論出發(fā)
