[教學(xué)設(shè)計(jì)]圓周角.doc

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1、圓周角(二)[內(nèi)容]教學(xué)目標(biāo)(一)使學(xué)生掌握圓周角定理的三個(gè)推論，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明；(二)使學(xué)生掌握利用直徑所對的圓周角是直角作輔助線的方法；(三)使學(xué)生認(rèn)識到圓周角定理及其推論是證明和圓有關(guān)的角相等的重要定理，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題以及綜合運(yùn)用知識的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)圓周角定理的三個(gè)推論是重點(diǎn)；三個(gè)推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加是難點(diǎn).教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題1.什么是圓周角?(學(xué)生回答)2.敘述圓周角定理.3.觀察圖形7-72，如果∠AOB＝120°，那么∠AC1B，∠AC2

2、B，∠AC3B各等于多少度?先由學(xué)生觀察回答，后教師指出：由于∠AC1B，∠AC2B，∠AC3B都是所對的圓周角，由圓周角定理知，它們都等于圓心角∠AOB的一半，故∠AC1B＝∠AC2B＝∠AC3B＝60°.如果∠AOB等于任意角α，那么結(jié)論又會(huì)怎樣呢??學(xué)生易答出∠AC1B＝∠AC2B＝∠AC3B＝α.于是由學(xué)生用文字語言敘述出上述結(jié)論：同弧所對的圓周角相等.4.觀察圖7-73，如果，那么∠E和∠F是什么關(guān)系?反過來如果∠E＝∠F，那么AB和CD是什么關(guān)系?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，由教師總結(jié)，并由學(xué)生用文字語言敘述出結(jié)論：等弧

3、所對的圓周角相等，在同圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.5.觀察圖7-74，⊙O1和⊙O2是等圓，如果，那么∠C1和∠C2相等嗎?反過來，如果∠C1＝∠C2，那么是否相等?根據(jù)3、4、5的討論，由師生共同歸納得出推論：推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.提問：在推論1中，(1)“同弧或等弧”能否改為?“同弦或等弦”?為什么?(2)“同圓或等圓”的條件能否去掉?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影打出圖形7-75.由圖(1)可以看到，∠C1和∠C2在一般情況下是不相等的，由圖(2)可知，如果在兩

4、個(gè)不相等的圓中，相等的圓周角所對的弧是不等的.?6.請學(xué)生再思考：(1)一個(gè)特殊的圓弧——半圓，它所對的圓周角是什么樣的角?(2)如果一條弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是什么樣的角?通過以上兩個(gè)問題的解決，得推論2：推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑(圖7-76)教師指出：這個(gè)推論是圓中一個(gè)很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角、構(gòu)成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件，要熟練掌握.7.啟發(fā)學(xué)生根據(jù)推論2推出推論3：推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形教師指出：推

5、論3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.二、應(yīng)用舉例，變式練習(xí)例1如圖7-77，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑.求證：AB·AC＝AEAD分析：由AE是⊙O的直徑，聯(lián)想到直徑的幾個(gè)性質(zhì)：(1)直徑上的圓周角是直角.若連結(jié)BE或CE，便可得直角三角形ABE和直角三角形ACE.(2)垂徑定理若過點(diǎn)O作弦AB的垂線OF，便可得直角三角形AOF，同時(shí).由于不同的思考方法，便得下述不同的證明方法證法一：如圖7-78，連結(jié)BE.(具體證明過程由學(xué)生口述，教師板書)證法二：如圖7-79.連

6、結(jié)CE.因?yàn)椤螦CE＝∠ADB＝90°，∠B＝∠E，所以△ACE∽△ABD?證法三：如圖7-80，過點(diǎn)O作OF⊥AB于F，交⊙O于G.證完后教師引導(dǎo)學(xué)生思考：(1)此題還有其它證法嗎?(2)比較以上證法的優(yōu)缺點(diǎn).最后教師指出：在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質(zhì).變式1(投影打出)?如圖7-81，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠1＝∠2.求證：AB·AC＝AE·AD.分析：要證明AB·AC＝AE·AD，只要證明，于是考慮到要證明△ABD∽△AEC，或△ABE∽△ADC成立，因此

7、連結(jié)BE或CE便可得出上述結(jié)論.證明：(學(xué)生口述，教師板書)變式2(投影打出)如圖7-82，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AE平分∠BAC交BC于D.求證：AB·AC＝AE·AD由學(xué)生口述證題思路后，由一名學(xué)生上黑板板演一種證明方法.教師指出：這組題目比較典型，圓和相似三角形有密切聯(lián)系，證明圓中某些線段成比例，常常需要找出或通過輔助線構(gòu)造出相似三角形.練習(xí)1根據(jù)圖7-83中的條件，回答下列問題：(點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上)(1)圖7-83(1)中有哪些相等的角?找出圖中所有的相似三角形.(2)在圖7-83(2)中，若∠AD

8、B＝∠CDB，則圖中哪些角相等?有幾對相似三角形?有哪些相等的弧和線段?例2例2????????如圖7-84，已知在⊙O中，直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D.求BC，AD和BD的長.分析：由AB為直徑，知△ACB和△ADB為直角三角形，又AC和AB已知，可由勾