專題29：代數(shù)幾何綜合題好題.doc

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1、專題29：代數(shù)幾何綜合題好題1．（2014山東淄博22，8分）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標是（0，3），點C是x軸上的一個動點，點C在x軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形．當點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）．（1）點C在移動的過程中，當?shù)冗吶切蜛CP的頂點P在第三象限時（如圖所示），求證：△AOC≌△ABP；由此你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（2）求點C在x軸上移動時，點P所在函數(shù)圖象的解析式．【考點解剖】本題考查了動點問題，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)，求函數(shù)解析式等知識，，解題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系

2、，和運動過程中的特殊點．【解題思路】（1）根據(jù)△AOB與△ACP都是等邊三角形，得到AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°．∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．從而∠CAO=∠PAB．證明出△AOC≌△ABP．從這兩個三角形的全等關(guān)系可以判斷出點P在過點B且與AB垂直的直線上．（2）由△AOB是等邊三角形，求出點A和點B的坐標，當點C移動到使點P在y軸上時，得到點P的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式．【解答過程】解：（1）證明：∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60

3、°．∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．∴∠CAO=∠PAB．∴△AOC≌△ABP．結(jié)論：點P在過點B且與AB垂直的直線上，或PB⊥AB，或∠ABP=90°．（2）點P所在函數(shù)圖象是過點B且與AB垂直的直線上，∵△AOB是等邊三角形，A（0，3），∴B（，）．當點C移動到使點P在y軸上時，得P（0，﹣3）．設(shè)點P所在直線的解析式為：，把B，P兩點的坐標代入，得∴.解得.所以點P所在函數(shù)圖象的解析式為．2.（2014黑龍江龍東地區(qū)，28，10分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正半軸上，

4、OA、OB的長分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個根（OA＞OB）．（1）求點D的坐標．（2）求直線BC的解析式．（3）在直線BC上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．ABOCDxy【考點解剖】本題考查了正方形與圖形坐標，結(jié)合三角形全等求函數(shù)關(guān)系式以及點的存在性問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出圖形中各個點的坐標．【解題思路】（1）過點D作y軸的垂線，利用全等三角形求D點坐標；（2）同（1）過點C作x軸垂線，利用全等三角形求C點坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線解析式.（3）要使△P

5、CD為等腰三角形，則需PC=DC，故P點有兩個．【解答過程】解：（1）x2－7x+12=0x1=3，x2=4∵OA>OB∴OA=4,OB=3過D作DE⊥y于點E∵正方形ABCD∴AD=AB，∠DAB=90°∴∠DAE+∠OAB=90°∴∠ABO+∠OAB=90°∴∠ABO=∠DAE∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB∴△DAE≌△ABO∴DE=OA=4，AE=OB=3，OE=7∴D（4，7）ABOCDxyEM（2）過點C作CM⊥x軸于點M同上可證得△BCM≌△ABO∴CM=OB=3BM=OA=4OM=7∴C（7，3）設(shè)直線BC的解

6、析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）代入B（3，0），C（7，3）得，解得∴y=x（3）存在P1（3，0），P2（11，6）如圖所示，當PC=CD時△PCD是等腰三角形由題意可知：BC=DC，故P1與點B重合，故P1（3，0）.當點P在BC延長線上時，如圖P2C=DC=BC，則過點P2N垂直于x軸，則CM是△BP2N的中位線，故P2N=2CM=6，ON=OB+2BM=3+4×2=11，故P2（11，6）.ABOCDxyEMP2(P1)N3．（2014湖南湘潭，25，10分）△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB，EF⊥AC，

7、（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，設(shè)BF＝m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當m為何值時S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF＝，求此圓直徑．【考點解剖】本題是一道綜合題，問題考查了相似形、二次函數(shù)的最值、等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是讀懂問題要求，將問題進行合理拆分、分步解決問題，最后一小問需利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置．【解題思路】（1）只需找到兩組對應角相等即可；（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF

8、的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題；（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉(zhuǎn)化為∠EAF．在△