韋達定理講解.ppt

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1、韋達定理執(zhí)教者:虞申君一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:X1,2=算一算(1)x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空:方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--2一元二次方程的根與系數(shù)的關系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-(韋達定理)注:能用韋達定理的前提條件為△≥0韋達(1540-1603)韋達定理的證明

2、:X1+x2=+==-X1x2=●===如果方程x2+px+q=0的兩根是X1,X2,那么X1+X2=,X1X2=-Pq推論說一說:說出下列各方程的兩根之和與兩根之積:1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-典型題講解:例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。求:(1)(2)x12+x22解:由題意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1+x2)2=x12+x

3、22+2x1x2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-)2-2×(-3)=6典型題講解:例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值。解:設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程,得4-2(k+1)+3k=0解這方程,得k=-2由韋達定理,得x1●2=3k即2x1=-6∴x1=-3答:方程的另一個根是-3,k的值是-2。典型題講解:例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值。解二:設方程的另一個根為x1.由韋達定理,得x1+2=k+1x1●2=3

4、k解這方程組,得x1=-3k=-2答:方程的另一個根是-3,k的值是-2。你會做嗎?你會做嗎?已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的兩個根,分別根據(jù)下列條件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-由韋達定理,得解:x1+x2=-,x1·x2=∴p=-3(x1+x2)q=3x1·x2(1)p=-9q=6(2)p=9q=-54(3)p=0q=-21(4)p=12q=-3試一試1、已知方程3x2-19x+m=0的一個根是1,求它的另一個根及m的值。2、

5、設x1,x2是方程2x2+4x-3=0的兩個根,求(x1+1)(x2+1)的值。解:設方程的另一個根為x1,則x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解:由韋達定理,得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=今天我學會了......1、韋達定理及其推論2、利用韋達定理解決有關一元二次方程根與系數(shù)問題時,注意兩個隱含條件:(1)二次項系數(shù)a≠0(2)根的判別式△≥0拓廣探索1、當k為何值時,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解:設方程兩根

6、分別為x1,x2(x1>x2),則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韋達定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3當k=9或-3時,由于△≥0,∴k的值為9或-3。2、設x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根,且x12+x22=4,求k的值。拓廣探索解:由方程有兩個實數(shù)根,得即-8k+4≥0由韋達定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4,得2k2-8k+

7、4=4解得k1=0,k2=4經(jīng)檢驗,k2=4不合題意,舍去?!鄈=0謝謝??!

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