均勻分布和指數(shù)分布腳本.doc

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1、均勻分布和指數(shù)分布腳本這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)重要的，又是常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它們是：均勻分布和指數(shù)分布。【出現(xiàn)第1張PPT】先來(lái)看第一個(gè)分布——均勻分布。來(lái)看定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度小f(x)是這樣的：當(dāng)a

2、可以由它的概率密度推出，是這樣一個(gè)分段函數(shù)。當(dāng)x小于a時(shí)，它等于0；當(dāng)x大于等于a，小于b時(shí)，等于x-a/b-a；x大于等于b時(shí)，它等于1。由均勻分布的概率密度推出這個(gè)分布函數(shù)的過(guò)程，不算復(fù)雜，希望你能夠自行推出。我們?nèi)菀桩?huà)出這個(gè)分布函數(shù)的圖像，可以看到均勻分布的分布函數(shù)，是一個(gè)定義在整個(gè)實(shí)軸上的連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)在請(qǐng)你思考一下：均勻分布的均勻性體現(xiàn)在哪里？可以不可以說(shuō)，均勻性體現(xiàn)在，它取每一點(diǎn)的概率值都相同呢？當(dāng)然不行。因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量取每一點(diǎn)的概率都等于0，這顯然不能作為均勻性的體現(xiàn)。事實(shí)上，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)注它取一點(diǎn)的概率說(shuō)明不了問(wèn)題，我們應(yīng)該

3、關(guān)注的是，它在某個(gè)區(qū)間上取值的概率。由分布函數(shù)，我們不難得知，X落在區(qū)間[a，b]上的任意小區(qū)間內(nèi)的概率，與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，因而落在等長(zhǎng)小區(qū)間上的概率都是相等的。這就是均勻分布的均勻性的真正含義?！镜?張PPT】均勻分布的應(yīng)用很廣泛，如：四舍五入的舍入誤差服從均勻分布，如果只保留整數(shù)，那么，舍入誤差服從區(qū)間-0.5到0.5的均勻分布。假定班車(chē)每隔10分鐘發(fā)出一輛，乘客隨機(jī)到達(dá)車(chē)站，侯車(chē)時(shí)間服從區(qū)間0到10上的均勻分布。某人在指定時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)到達(dá)某一地點(diǎn)，他到達(dá)的時(shí)間，也服從指定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的均勻分布。下面來(lái)看一個(gè)例子。若隨機(jī)變量T服從區(qū)間1到6的均勻

4、分布，求方程“x的平方加Tx加1等于0”有實(shí)根的概率。解，因?yàn)殡S機(jī)變量T服從區(qū)間1到6的均勻分布，所以T的概率密度是：當(dāng)1

5、義。如果隨機(jī)變量X的概率密度小f(x)是這樣的：當(dāng)x大于0的時(shí)侯，它等于λ乘上e的-(xλ)次冪；當(dāng)x小于等于0的時(shí)侯，它等于0。那么，我們就稱，隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X服從E(λ)。這里的E是Exp的首字母，而Exp是指數(shù)分布的英文縮寫(xiě)。容易畫(huà)出指數(shù)分布的概率密度圖形。它顯然是定義在整個(gè)實(shí)軸上的不連續(xù)的分段函數(shù)。由指數(shù)分布的概率密度，不難推出指數(shù)分布的分布函數(shù)，它是定義在整個(gè)實(shí)軸上的連續(xù)函數(shù)。這個(gè)工作留給大家作為練習(xí)?！镜?張PPT】指數(shù)分布常用來(lái)刻畫(huà)取非負(fù)實(shí)數(shù)的隨機(jī)變量，常常用作各種“壽命”分布的近似分布。例如，電子元器件的壽命，隨機(jī)服

6、務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間，等等。來(lái)看下面兩個(gè)例子。例2，設(shè)客戶在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X服從指數(shù)分布,X的概率密度是這樣的，當(dāng)x大于0時(shí)，它等于1/5乘上e的-(x/5)次冪，其它地方等于0。他在窗口等待服務(wù),若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，他就離開(kāi)。求他每次未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率。來(lái)看解題過(guò)程。因?yàn)榈却龝r(shí)間超過(guò)10分鐘，他就離開(kāi)，所以，他每次沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)的概率，可以表示為X大于10的概率。它等于：從10到+∞，對(duì)概率密度函數(shù)求積分，也就是對(duì)1/5乘上e的-(x/5)次冪，作積分。積分的原函數(shù)是負(fù)的e的-(x/5)次冪，+∞代入，極限等于0，再減去10代進(jìn)去的

7、結(jié)果，就是e的-2次方?！镜?張PPT】最后來(lái)看例3，假定自動(dòng)取款機(jī)對(duì)每位顧客的服務(wù)時(shí)間服從λ=1/3的指數(shù)分布，如果有一顧客恰好在你前面走到空閑的取款機(jī)，求你等待時(shí)間在3分鐘到6分鐘之間的概率。我們以X表示系統(tǒng)對(duì)這位顧客的服務(wù)時(shí)間，那么X服從參數(shù)為1/3的指數(shù)分布。系統(tǒng)為你前面這位顧客的服務(wù)時(shí)間，也就是你等待的時(shí)間，也就是說(shuō)，你等待的時(shí)間也服從參數(shù)為1/3的指數(shù)分布。我們把X的概率密度先寫(xiě)出來(lái)，它是這樣一個(gè)分段函數(shù)。(…)你等待3到6分鐘的概率，等于從3到6對(duì)概率密度求積分，原函數(shù)是：負(fù)的e的-(x/3)次冪，把6和3分別代入，相減。最后積分的結(jié)果是：e

8、的-1次方，減去e的-2次方，最后等于0.233。下面來(lái)看這樣一個(gè)