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1、第五章線性系統(tǒng)綜合5.2極點(diǎn)配置問題本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo),在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn),是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)的。這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法稱為極點(diǎn)配置。在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中,無論采用頻率域法還是根軌跡法,都是通過改變極點(diǎn)的位置來改善性能指標(biāo),本質(zhì)上均屬于極點(diǎn)配置方法。本節(jié)所討論得極點(diǎn)配置問題,
2、則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。由于線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,因此考慮到問題的可解性,對(duì)期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1)對(duì)于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn);2)期望的極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù);3)期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)等的要求?；谥付ǖ钠谕]環(huán)極點(diǎn),線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立下面分別討論:狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理SI
3、SO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法輸出反饋極點(diǎn)配置5.2.1狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理在進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí),存在如下問題:被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點(diǎn)滿足哪些條件,則是可以進(jìn)行極點(diǎn)配置的。下面的定理就回答了該問題。定理對(duì)線性定常系統(tǒng)?(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K,能使閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)完全能控?！踝C明(1)先證充分性(條件?結(jié)論)。即證明,若被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)完全能控,則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)必能任意配置極點(diǎn)。由于線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)能控性,而開環(huán)被控系統(tǒng)?(
4、A,B,C)狀態(tài)能控,因此一定存在線性變換能將其變換成能控規(guī)范I形。不失一般性,下面僅對(duì)能控規(guī)范形證明充分性。證明過程的思路為:分別求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣及期望的特征方程比較兩特征多項(xiàng)式建立可極點(diǎn)配置的條件證明過程:設(shè)SISO被控系統(tǒng)?(A,B,C)為能控規(guī)范I形,則其各矩陣分別為且其傳遞函數(shù)為若SISO被控系統(tǒng)?(A,B,C)的狀態(tài)反饋陣K為K=[k1k2…kn]則閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的系統(tǒng)矩陣A-BK為相應(yīng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征多項(xiàng)式分別為如果由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的特征多項(xiàng)式為f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*
5、那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1*?an+k1=an*則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)配置在特征多項(xiàng)式f*(s)所規(guī)定的極點(diǎn)上。即證明了充分性。同時(shí),我們還可得到相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣為K=[k1k2…kn]其中(2)再證必要性(結(jié)論?條件)。即證明,若被控系統(tǒng)?(A,B,C)可進(jìn)行任意極點(diǎn)配置,則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。采用反證法。即證明,假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的,但可以進(jìn)行任意的極點(diǎn)配置。證明過程的思路為:對(duì)狀態(tài)不完全能控開環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行能控分解對(duì)能控分解后的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋其完全不能控子系統(tǒng)不能進(jìn)行極點(diǎn)配置與假設(shè)矛
6、盾,必要性得證其中狀態(tài)變量是完全能控的;狀態(tài)變量是完全不能控的。對(duì)能控分解后的系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋其中被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)不完全能控,則一定存在線性變換x=Pc,對(duì)其可進(jìn)行能控分解,得到如下狀態(tài)空間模型:由能控規(guī)范I形的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表明,狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點(diǎn),但不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。當(dāng)被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時(shí),其極點(diǎn)可以進(jìn)行任意配置。因此,當(dāng)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)恰好配置與開環(huán)的零點(diǎn)重合時(shí),則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中將存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。根據(jù)零極點(diǎn)相消定理可知,閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀。由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完
7、全能控特性,故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全能觀的。這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。從以上說明亦可得知,若SISO系統(tǒng)沒有零點(diǎn),則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。5.2.2SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法極點(diǎn)配置算法1（維數(shù)較大）1.對(duì)于SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題,若其狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范I形,則相應(yīng)反饋矩陣為K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)能控規(guī)范I形進(jìn)行極點(diǎn)配置,求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣;通過如下變換,原系統(tǒng)?的相應(yīng)狀態(tài)
8、反饋陣K為2.若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為能控規(guī)范形,則利
