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1、6.2反饋控制與極點(diǎn)配置本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點(diǎn)。對線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)問題,有完全平行的結(jié)論和方法。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合對線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo),在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn),是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)的。這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法稱為極點(diǎn)配置。在經(jīng)典控制
2、理論的系統(tǒng)綜合中,無論采用頻域法還是根軌跡法,都是通過改變極點(diǎn)的位置來改善性能指標(biāo),本質(zhì)上均屬于極點(diǎn)配置方法。本節(jié)所討論的極點(diǎn)配置問題,則是指如何通過狀態(tài)反饋陣K的選擇,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合由于線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,因此考慮到問題的可解性,對期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問題:1)對于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn);2)期望的極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù);3)期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)
3、等的要求。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合基于指定的期望閉環(huán)極點(diǎn),線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合下面分別討論:狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法輸出反饋極點(diǎn)配置2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合6.2.1狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理在進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí),存在如下問題:被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點(diǎn)滿足哪些條件,則是可以進(jìn)行極點(diǎn)配置的。下面的定
4、理就回答了該問題。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合定理6-1對線性定常系統(tǒng)?(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K,能使閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)完全能控。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合6.2.2SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法求反饋矩陣K的方法:1.對于SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題,若其狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范II形,則相應(yīng)反饋矩陣為K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分別為
5、開環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合對能控規(guī)范II形?~進(jìn)行極點(diǎn)配置,求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣如下因此,原系統(tǒng)?的相應(yīng)狀態(tài)反饋陣K為2.若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為能控規(guī)范II形,則由4.6節(jié)討論的求能控規(guī)范II形的方法,利用線性變換x=Tc2,將系統(tǒng)?(A,B)變換成能控規(guī)范II形,即有2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合下面通過兩個(gè)例子來說明計(jì)算狀態(tài)反饋陣K的方法。例6-2設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求狀態(tài)反饋陣K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1±j2。2
6、021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合解1：判斷系統(tǒng)的能控性。開環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控,可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。2.求能控規(guī)范II形:2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合3.求反饋律:因此開環(huán)特征多項(xiàng)式f(s)=s2-2s-5,而由期望的閉環(huán)極點(diǎn)-1?j2所確定的期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(s)=s2+2s+5,則得狀態(tài)反饋陣K為則在反饋律u=-Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合通過驗(yàn)算可知,該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1±j2,達(dá)到設(shè)計(jì)要求。2021/8/13第6章線性
7、系統(tǒng)綜合例6-3已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試選擇一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣K,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-2和-1±j上。解1：要實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置,則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)需狀態(tài)完全能控。因此,可選擇能控規(guī)范II形來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。故有2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合2.系統(tǒng)的開環(huán)特征多項(xiàng)式f(s)和由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(s)分別為f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4則相應(yīng)的反饋矩陣K為K=[a3*-a3a2*-a2a1*-a1]2021/8/13第6章線性系統(tǒng)
8、綜合因此,在反饋律u=-Kx+v下,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在例6-3中,由給定的傳遞函數(shù)通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)需先求系統(tǒng)實(shí)現(xiàn),即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。這里就存在一個(gè)所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測量、可以直接作反饋量的問題。2021/8/13第6章線性系統(tǒng)綜合由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)運(yùn)動和特性的,因此對實(shí)際控制系統(tǒng),它可能不能直接測量,更甚者是抽象的數(shù)學(xué)變量,實(shí)際中不存在物理量與之直接對應(yīng)。若狀態(tài)變量不能直接測
