反饋控制與極點(diǎn)配置1

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1、反饋控制與極點(diǎn)配置(1/5)4.2反饋控制與極點(diǎn)配置本節(jié)討論如何利用狀態(tài)反饋與輸出反饋來(lái)進(jìn)行線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置,即使反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所指定的閉環(huán)極點(diǎn)。對(duì)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)問(wèn)題,有完全平行的結(jié)論和方法。反饋控制與極點(diǎn)配置(2/5)對(duì)線性定常系統(tǒng),系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能的品質(zhì)指標(biāo),在很大程度上是由閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位置所決定的。因此在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),設(shè)法使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上的一組合理的、具有所期望的性能品質(zhì)指標(biāo)的極點(diǎn),是可以有效地改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)指標(biāo)的。這樣的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法稱為極點(diǎn)

2、配置。在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中,無(wú)論采用頻率域法還是根軌跡法,都是通過(guò)改變極點(diǎn)的位置來(lái)改善性能指標(biāo),本質(zhì)上均屬于極點(diǎn)配置方法。本節(jié)所討論得極點(diǎn)配置問(wèn)題,則是指如何通過(guò)狀態(tài)反饋陣K的選擇,使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于預(yù)先選擇的一組期望極點(diǎn)上。反饋控制與極點(diǎn)配置(3/5)由于線性定常系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,因此考慮到問(wèn)題的可解性,對(duì)期望的極點(diǎn)的選擇應(yīng)注意下列問(wèn)題:1)對(duì)于n階系統(tǒng),可以而且必須給出n個(gè)期望的極點(diǎn);2)期望的極點(diǎn)必須是實(shí)數(shù)或成對(duì)出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù);3)期望的極點(diǎn)必須體現(xiàn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能品

3、質(zhì)指標(biāo)等的要求。反饋控制與極點(diǎn)配置(4/5)基于指定的期望閉環(huán)極點(diǎn),線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問(wèn)題可描述為:給定線性定常連續(xù)系統(tǒng)確定反饋控制律使得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在指定的n個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)也就是成立狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(1/11)4.2.1狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理在進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí),存在如下問(wèn)題:被控系統(tǒng)和所選擇的期望極點(diǎn)滿足哪些條件,則是可以進(jìn)行極點(diǎn)配置的。下面的定理就回答了該問(wèn)題。狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(2/11)定理4-1對(duì)線性定常系統(tǒng)?(A,B,C)利用線性狀態(tài)反饋陣K,能使閉環(huán)系統(tǒng)?K

4、(A-BK,B,C)的極點(diǎn)任意配置的充分必要條件為被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)完全能控?！踝C明(1)先證充分性(條件?結(jié)論)。即證明,若被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)完全能控,則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)必能任意配置極點(diǎn)。由于線性變換和狀態(tài)反饋都不改變狀態(tài)能控性,而開環(huán)被控系統(tǒng)?(A,B,C)狀態(tài)能控,因此一定存在線性變換能將其變換成能控規(guī)范II形。不失一般性,下面僅對(duì)能控規(guī)范I形證明充分性。狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(3/11)下面僅對(duì)SISO系統(tǒng)進(jìn)行充分性的證明,對(duì)MIMO系統(tǒng)可完全類似于SISO的

5、情況完成證明過(guò)程。證明過(guò)程的思路為:分別求出開環(huán)與閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣比較兩傳遞函數(shù)陣的特征多項(xiàng)式建立可極點(diǎn)配置的條件狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(4/11)證明過(guò)程:設(shè)SISO被控系統(tǒng)?(A,B,C)為能控規(guī)范I形,則其各矩陣分別為且其傳遞函數(shù)為狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(5/11)若SISO被控系統(tǒng)?(A,B,C)的狀態(tài)反饋陣K為K=[k1k2…kn]則閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的系統(tǒng)矩陣A-BK為相應(yīng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征多項(xiàng)式分別為狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理(6/11)如果由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的特

6、征多項(xiàng)式為f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1*?an+k1=an*則可將狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)?K(A-BK,B,C)的極點(diǎn)配置在特征多項(xiàng)式f*(s)所規(guī)定的極點(diǎn)上。即證明了充分性。同時(shí),我們還可得到相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣為K=[k1k2…kn]其中SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(1/10)4.2.2SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法上述定理及其證明不僅說(shuō)明了被控系統(tǒng)能進(jìn)行任意極點(diǎn)配置的充分必要條件,而且給出了求反饋矩陣K的一種方法。對(duì)此,有如下討論:1.

7、由上述定理的充分性證明中可知,對(duì)于SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題,若其狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范I形,則相應(yīng)反饋矩陣為K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)。2.若SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為能控規(guī)范I形,則利用線性變換將系統(tǒng)?(A,B)變換成能控規(guī)范I形SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(2/10)對(duì)能控規(guī)范I形?~進(jìn)行極點(diǎn)配置,求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣如下因此,原系統(tǒng)?的相應(yīng)狀態(tài)反饋陣K為參見(jiàn)P

8、129SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(7/10)—例3例4-3已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試選擇一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣K,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-2和-1±j上。解1：要實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置,則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)需狀態(tài)完全能控。因此,可選擇能控規(guī)范I形來(lái)建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。故有SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法(8/10)2.系統(tǒng)的開環(huán)特征多項(xiàng)式f(s)和由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(s)分