機(jī)械振動(dòng) 第4章-二自由度系統(tǒng)的振動(dòng).ppt

《機(jī)械振動(dòng) 第4章-二自由度系統(tǒng)的振動(dòng).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、第四章：二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)的"自由度"定義為描述振動(dòng)系統(tǒng)的位置或形狀所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)稱為兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)單質(zhì)量彈簧旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)扭振系統(tǒng)4.1二自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程[M]——系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。[C]——系統(tǒng)的阻尼矩陣。[K]——系統(tǒng)的剛度矩陣。{x}——系統(tǒng)的位移列陣?！到y(tǒng)的一、二階導(dǎo)數(shù)列。{F(t)}—系統(tǒng)的激振力列。在彈性系統(tǒng)微幅振動(dòng)中，剛度矩陣[K]總是對(duì)稱的，即永遠(yuǎn)存在Kij=Kji。對(duì)于同一系統(tǒng)，當(dāng)采用不同的獨(dú)立坐標(biāo)來描述時(shí)，其[

2、M]、[C]、[K]矩陣中的元素是不同的，但不影響系統(tǒng)的固有特性，系統(tǒng)的固有頻率與坐標(biāo)的選取無關(guān)，一定的系統(tǒng)其固有頻率是一定的。運(yùn)動(dòng)微分方程4.2二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)4.2.1無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，用x1和x2兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)振動(dòng)過程中任何一瞬時(shí)的m1和m2取分離體，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得其運(yùn)動(dòng)方程為其用具體的矩陣形式表示的微分方程為(1)4.2.1無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)二階常系數(shù)線性齊次微分方程組，設(shè)其一組解為兩個(gè)質(zhì)量塊均服從具有相同頻率ωn和相同相角φ的

3、同步諧振，式中A1和A2分別為質(zhì)量m1和m2的振幅(2)代入(1)微分方程得：(3)(2)(4)寫成一般形式：{A}——振幅列陣4.2.1無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(4)寫成展開形式振幅向量不能總是為零，(5)成立的條件振幅向量列陣的系數(shù)矩陣行列式應(yīng)等于零，即特征方程為(5)(6)4.2.1無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(7)(8)展開(6)得行列式：其根稱為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的固有頻率的平方。代數(shù)中的二次公式求解方程式中：4.2.1無阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)必定是正的，另外b2-4ac的展開式總是正的，故

4、是兩個(gè)實(shí)數(shù)根。若，ωn1稱為第一階固有頻率，也稱基頻；ωn2稱為第二階固有頻率。顯然，二自由度系統(tǒng)共有兩個(gè)固有頻率，且固有頻率同樣取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)(mi,Ki,i=1,2)。如果行列式不是負(fù)的，必然，不能求得振幅A1和A2確定值，但可得對(duì)應(yīng)于，將代入(6)，下的比值稱之為振幅比。振幅比決定了振動(dòng)的振型(9)例題4-1，問題：設(shè)系統(tǒng)的ml=m2=m，kl=k2=k。求系統(tǒng)的固有圓頻率和振型解：其運(yùn)動(dòng)方程即：例題4-1由公式(8)得到：由公式(9)得到：第一振型：第二振型：例題4-1第一振型第二振型從振型圖

5、中可見，系統(tǒng)具有兩種可能的同步運(yùn)動(dòng)，每一同步運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)一個(gè)固有頻率，系統(tǒng)在一般情況下的運(yùn)動(dòng)則是兩種同步運(yùn)動(dòng)的疊加，即或例題4-1或式中：——稱為振型矩陣式(10)展開：cl、c2、c3及c44個(gè)常量，決定于兩個(gè)坐標(biāo)的初始位移和初始速度。(10)(11)例題4-1設(shè)t=0時(shí)，x1=x10，x2=x20將cl、c2、c3及c4代入式(11)中，即得雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)在上述初始干擾下的響應(yīng)。歸納起來，固有振型按(9)式（振幅比）的形式假設(shè)，可使齊次微分方程變換為一個(gè)代數(shù)方程組，令振幅系數(shù)矩陣的行列式等于零，就可得到特征方程

6、并求出固有頻率與振型，最后利用初始條件求出4個(gè)常數(shù)，則系統(tǒng)的總響應(yīng)就確定了。由(11)得到：(12)例題4-2例題4-2：在例題4-1中，設(shè)t=0時(shí)，x10=x20=1，求該系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)。解：已求得該系統(tǒng)的固有頻率為一、二階振型分別為r1=0.618,r2=-1.618由(12)求得c1=1.171,c2=0,c3=-0.171,c4=0例題4-2將以上常數(shù)帶入(11)在此情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)只有余弦項(xiàng)，如果初始位移為零，而初始速度為非零，則在響應(yīng)中只出現(xiàn)正弦項(xiàng)，這和單自由度系統(tǒng)的響應(yīng)是一致的，在這里兩

7、個(gè)頻率對(duì)響應(yīng)都有貢獻(xiàn)。如果初始位移之比恰與第一振型之振幅比相等且則其響應(yīng)為：系統(tǒng)的響應(yīng)由純第一振型組成，即只有第一固有頻率對(duì)響應(yīng)有貢獻(xiàn)4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：(13)4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)寫成矩陣形式為：(14)其中：4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程(14)的解應(yīng)有以下形式：(15)將(15)帶入(14)得：：為使A1和A2不為零，系數(shù)行列式必為零，即可得特征方程:(16)4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)當(dāng)阻尼較小時(shí)，系統(tǒng)作自由衰減振動(dòng)，方程有

8、以下共輒復(fù)數(shù)根：(17)式中：n1，n2——衰減系數(shù)。ωd1,ωd2——有阻尼時(shí)的固有頻率通過公式(16)得振幅比4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)通過公式(15)得到解為：4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(18)將公式(17)代入(18)得：方程的解可以寫成：4.2.2有阻尼二自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(18)在有阻尼情況下，振幅，，隨時(shí)間而衰減，最終消失。當(dāng)阻尼很小時(shí)，有阻尼的