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1、MATLAB--水塔流量的估計(jì)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：水塔水流量的估計(jì)摘要:數(shù)學(xué)建模方法是處理科學(xué)理論的一種經(jīng)典方法，也是解決各類實(shí)際問題的常用方法。本文采用曲線擬合的方法，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)水塔流量進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際記錄基本吻合。關(guān)鍵詞:建模，流量，擬合，MATLAB1.問題重述美國某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供用水率（以每小時(shí)多少加侖計(jì)，英制單位下，1加侖=4.54596dm3，美制單位下，1加侖=3.7
2、8533dm3）以及每天所用的總用水量，但許多社區(qū)并沒有測量流入或流出當(dāng)?shù)厮乃康脑O(shè)備，而只能以每小時(shí)測量水塔的水位代替，其精度在0.5%以內(nèi)。更為重要的是，無論什么時(shí)候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L時(shí)，水泵就啟動(dòng)向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也無法得到水泵的供水量的測量數(shù)據(jù)。因此，在水泵正在工作時(shí)，不容易建立水塔中水位與水泵工作時(shí)用水量之間的關(guān)系。水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次大約2小時(shí)。試估計(jì)在任何時(shí)候，甚至包括水泵正在工作的時(shí)間內(nèi)從水塔流出的流量，并估計(jì)一天的總用水量。水塔是一個(gè)垂直圓柱體，高為40英尺，直徑為57
3、英尺。下表給出了某個(gè)小鎮(zhèn)某一天的真實(shí)數(shù)據(jù)：表1某小鎮(zhèn)某天的水塔水位（1m=3.281英尺）時(shí)間（秒）水位（英尺）時(shí)間（秒）水位（英尺）時(shí)間（秒）水位（英尺）031.7535932水泵工作6853528.42331631.1039332水泵工作7185427.67663530.543943535.507502126.971061929.944331834.4579154水泵工作1393729.554663633.5082649水泵工作1792128.924995332.678596834.752124028.505393631.56899533
4、3.892522327.875725430.819327033.402854327.526057430.123228426.976455429.272.問題分析數(shù)據(jù)的單位轉(zhuǎn)換：表2時(shí)間（h）水位（m）時(shí)間（h）水位（m）時(shí)間（h）水位（m）09.67699.98水泵工作19.048.66200.929.478810.93水泵工作19.968.43341.849.308110.9510.819920.848.22012.959.125312.0310.499822.01水泵工作3.878.986412.9510.210322.96水泵工作4.9
5、88.814413.889.957323.8810.59135.908.686414.989.619024.9910.32927.018.520015.909.390425.9110.17987.938.387716.839.18018.978.220117.948.9211流量是單位時(shí)間流出的水的體積，由于水塔是正圓柱形，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時(shí)段，流量很容易從水位對(duì)時(shí)間的變化率算出，問題是如何估計(jì)水泵供水時(shí)段的流量。水泵供水時(shí)段的流量只能靠供水時(shí)段前后的流量擬合得到，作為用于擬合的原始數(shù)據(jù)，我們希望水泵不工作的時(shí)段流量越準(zhǔn)確越好。
6、這些流量大體可由兩種方法計(jì)算:一是直接對(duì)表2中的水位用數(shù)值微分算出各時(shí)段的流量，用它們擬合其它時(shí)刻或連續(xù)時(shí)間的流量。二是先用表中數(shù)據(jù)擬合水位-時(shí)間函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)即可得到連續(xù)時(shí)間的流量。一般說來數(shù)值微分的精度不高，何況測量記錄還是不等距的，數(shù)值微分的計(jì)算尤其麻煩。下面我們用第二種方法處理。有了任何時(shí)刻的流量，就不難計(jì)算一天的總用水量。其實(shí)，水泵不工作時(shí)段的用水量可以由測量記錄直接得到，如表2可知從t=0到t=8.97(h)水位下降了9.6769-8.2201=1.4568(m)，乘以水塔的截面積就是這一時(shí)段的用水量。這個(gè)數(shù)值可以用來檢查擬合的結(jié)果
7、。3.模型假設(shè)供水時(shí)段的假設(shè)水泵第1次供水時(shí)段為t=9到t=11(h),第2次供水時(shí)段為t=20.8到t=23(h)。這是根據(jù)最低和最高水位分別是8.2201m和10.8199m及表2的水位測量記錄作出的假設(shè)。其中前3個(gè)時(shí)刻取自實(shí)測數(shù)據(jù)（精確到0.01h）,最后1個(gè)時(shí)刻來自每次供水約兩小時(shí)的已知條件（從記錄看，第2次供水時(shí)段應(yīng)在有記錄的22.96h之后不久結(jié)束）。水泵工作時(shí)單位時(shí)間的供水量基本為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)大于單位時(shí)間的平均流量。流量是單位時(shí)間流出水的體積，這里假設(shè)流量是對(duì)時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，即。為簡化處理，不影響問題的解決，假設(shè)流量與水泵是工
8、作無關(guān)。由于水塔截面積是常數(shù)S,為簡單起見，計(jì)算中將流量定義為單位時(shí)間流出的水的高度，即水位對(duì)時(shí)間變化率的絕對(duì)值（水位是下降的），最后給出結(jié)果時(shí)再乘以S即可。即：水
