對估計(jì)水塔流量的探究

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1、對估計(jì)水塔流量的探究摘要本文是一個(gè)關(guān)于投資收益和風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡規(guī)劃問題的解答，問題中給岀四種（或多種）投資方案供投資者選擇，每種方案都有相應(yīng)的收益率和風(fēng)險(xiǎn)率，我們的目的是關(guān)鍵字:一.問題重述某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無法測量水塔的水位和水泵的供水量.通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2m,直徑17.4m的正圓柱.按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2m時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8

2、m時(shí)水泵停止工作.表1是某一天的水位測量記錄，試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵正供水時(shí))從水塔流出的水流量，及一天的總用水量.時(shí)刻(h)水位(cm)00.921.842.953.874.985.907.017.938.97968948931913898881869852839822時(shí)刻(h)水位(cm)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93////108210501021994965941918892時(shí)刻(h)水位(cm)19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.9

3、1866843822////105910351018表1水位測量記錄(符號〃表示水泵啟動(dòng))一.模型的假設(shè)1)假設(shè)儲(chǔ)水器的空氣壓力強(qiáng)穩(wěn)定；2)假設(shè)題目涉及的水泵功率恒定；3)假設(shè)一天中溫度不變或者影響不大；4)居民的用水量沒有突變點(diǎn)。二.符號說明表1未完善符云1符號說明赤緯角0方位角e太陽高度角太陽時(shí)角（地球每個(gè)小時(shí)自轉(zhuǎn)15°稱之為時(shí)角）W地理緯度J經(jīng)度L影長D日期H桿子高度1某點(diǎn)的地方時(shí)間L桿影長度一.模型的建立與求解4.1問題一4.1.1問題1分析題目要求描建立每個(gè)時(shí)刻水塔流出用水流量變化的數(shù)學(xué)模型，分析水箱水位關(guān)于各個(gè)時(shí)刻的變化規(guī)律。首先通過查閱

4、相關(guān)數(shù)學(xué)建模文獻(xiàn)，找尋建模中可能遇到的概念、方法，再挖掘建立模型相關(guān)的方法，為之后的建模奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。模型建立第一步，理清自變量（吋間），因變量（流量）。先預(yù)處理數(shù)據(jù)，將水位轉(zhuǎn)化為水流量，再處理流量一時(shí)間散點(diǎn)圖，分段多項(xiàng)式擬合構(gòu)造對應(yīng)函數(shù)，使之符合題意，同時(shí)根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析和構(gòu)建相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。4.1?2數(shù)據(jù)的預(yù)處理將數(shù)據(jù)導(dǎo)進(jìn)MATLAB屮并將水塔水位轉(zhuǎn)化為水塔屮體積，公式如下Yd?、L=兀—?H；①（4丿得出的體積與時(shí)間關(guān)系如下表二未完善時(shí)刻(h)00.921.842.953.874.985.907.017.938.97體積(cm)時(shí)

5、刻(h)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93體積(cm)時(shí)刻(h)19.0519.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91體積cm)4.1?2模型1的建立通過對題目的探討，我們先利用MATLAB作出水體積與時(shí)間的散點(diǎn)圖。體積一時(shí)間散點(diǎn)圖°o2468101214161820時(shí)間/h2426282.5體枳一時(shí)間曲線25151.O.圖一我們發(fā)現(xiàn)，圖中散點(diǎn)可以分為五個(gè)階段：未供水第一段，供水第一段，未供水第二階段，供水第二階段，未供水第三階段。由于供水階段沒有數(shù)據(jù)，所以先根

6、據(jù)未供水段的散點(diǎn)圖，利用插值擬合出未供水段的體積關(guān)于時(shí)間函數(shù)方程f(X)O根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)可得流量是指單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)封閉管道或明渠有效截面的流體量，既是Q=S?V=學(xué)；②At其中Q是流量，S為截而而積,v為水流速度，L為體積，t為時(shí)間;Q=lim—ioAt根據(jù)以上的方程式可以知道，先要擬合岀流量一時(shí)間方程，再對方程求一次微分（導(dǎo)數(shù)），就可以得出流量一時(shí)間方程。4.1.3步驟一：擬合方式的選擇由于供水階段沒有數(shù)據(jù)，所以先根據(jù)未供水段的散點(diǎn)圖，利用插值擬合出未供水段的函數(shù)方程。我們優(yōu)先選擇多項(xiàng)式擬合的方式，下面對多項(xiàng)式原理進(jìn)行建模分析：假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（嗎

7、，”）（匸0,1,…,m）,①為所有次數(shù)不超過旳訥的多項(xiàng)M式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一=&①，使得"乞也（嗎）一”]2=乞2＞丘彳_”=min2-02-0V-0丿；④當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式吋，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式（1）的去川力稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n二1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。顯然M?/=另（另丑垃-”）22-0JWI.⑤為如?，…比的多元函數(shù)，因此上述問題即為求"心旳…比）的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得^7??=22(S^i-y^t=o,gj2-0JUOj=0」，…衛(wèi)?⑥即?MMDi-0i』j=0,1,???,七■⑦（3）是關(guān)于

8、如?，…比的線性方程組，用矩陣表示為M…zxT-M2-0idi-0OBOB?Ft…ki』■■2-0■■2-0