《水塔流量估計》word版

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1、水塔流量的估計一.問題的提出12.2m17.4m10.8m8.2m某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計其流量。但面臨的困難是，當水塔水位下降到設定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約2h(小時)。水塔是一個高為12.2m,直徑為17.4m是正圓柱。按照設計,水塔水位降至約8.2m時,水泵自動啟動,水位升到約為10.8m時水泵停止工作。表1是某一天的水位測量記錄(符號“//”表示水泵啟動)，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量及一天的總用水量

2、。表1：水位測量記錄（時刻：h，水位：cm）時刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822時刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位////108210501021994965941918892時刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822////105910351011二、問題分析流量是單位時間流出的水的體積，由于水塔是正圓柱形，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時段，

3、流量很容易從水位對時間的變化率算出，問題是如何估計水泵供水時段的流量。水泵供水時段的流量只能靠供水時段前后的流量擬合得到，作為用于擬合的原始數(shù)據(jù)，我們希望水泵不工作的時段流量越準確越好。這些流量大體可由兩種方法計算:一是直接對表1中的水位用數(shù)值微分算出各時段的流量，用它們擬合其它時刻或連續(xù)時間的流量。二是先用表中數(shù)據(jù)擬合水位~時間函數(shù)，求導數(shù)即可得到連續(xù)時間的流量。一般說來數(shù)值微分的精度不高，何況測量記錄還是不等距的，數(shù)值微分的計算尤其麻煩。下面我們用第二種方法處理。有了任何時刻的流量，就不難計算一天的總用水量。其實，水泵不工作時段的用水量可以由測量記錄直接得到，如表1可知從t=0到

4、t=8.97(h)水位下降了968–822=146(cm)，乘以水塔的截面積就是這一時段的用水量。這個數(shù)值可以用來檢查擬合的結果。三、模型假設1.流量只取決于水位差，與水位本身無關。按照Torricelli(托里切利,1608-1647,意大利數(shù)學家、物理學家、氣壓計原理發(fā)現(xiàn)者)定律從小孔流出的流體的流速正比于水面高度的平方根，題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.2m和10.8m(設出口的水位為零),因為,所以可忽略水位對速度的影響。2.根據(jù)最低和最高水位分別是8.2m和10.8m及表1的水位測量記錄,假設水泵第1次供水時段為到,第2次供水時段為到。其中前3個時刻取自實測數(shù)據(jù)（精確

5、到0.1h）,最后1個時刻來自每次供水約兩小時的已知條件（從記錄看，每2次供水時段應在有記錄的22.96h之后不久結束）。3.水泵工作時單位時間的供水量大致是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時間的平均流量。4.流量是對時間的連續(xù)函數(shù)。5.流量與水泵是否工作無關。6.由于水塔截面積是常數(shù),,為簡單起見，計算中將流量定義為單位時間流出的水的高度，即水位對時間變化率的絕對值（水位是下降的），最后給出結果時再乘以S即可。即：水位是時間的連續(xù)函數(shù)水位對時間的變化率(流量)任何時刻的流量：四、模型建立1.擬合水位~時間函數(shù)從表1測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第2供水時段）和3個水泵不工

6、作時段(以下稱第1用水時段到，第2用水時段到第3用水時段以后)。對第1、2用水時段的測量數(shù)據(jù)分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)和。為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般用3~6次。由于第3時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出比較好的擬合，可采用外推的辦法解決。2.確定流量~時間函數(shù)對于第1、2用水時段，只需將水位函數(shù)求導數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3用水時段流量包含在第2供水時段內，需要擬合四個流量函數(shù)。3.一天總用水量的估計總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量

7、之和，它們都可以由流量對時間的積分得到。五、模型求解根據(jù)表一，可以對各時段的數(shù)據(jù)進行擬合。建立時間和水位向量的函數(shù)關系。為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般用3~6次。先用3次函數(shù)進行擬合第一時段[0,9]的水位、流量。設t、h為已輸入的時刻和水位測量記錄(水泵啟動的4個時刻不輸入):>>h=[96894893191389888186985283982200108210501021994965941918892866843822001059103