矩陣的特征值與特征向量講解說課材料.ppt

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1、矩陣的特征值與特征向量講解定義若存在常數(shù)及非零向量1.特征值與特征向量定義若※①不同特征向量可屬于同一個(gè)特征值.②一個(gè)特征向量不能對(duì)應(yīng)于不同特征值.③不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的.用數(shù)學(xué)歸納法證明（見教材）特征值與特征向量間的關(guān)系：兩式想減得：(1)因?yàn)椋怨释粋€(gè)特征值可以對(duì)應(yīng)著許多不同的特征向量即：一個(gè)特征向量不能對(duì)應(yīng)于不同特征值同理可得，所以線性無關(guān)2、相關(guān)概念稱※特征值和特征向量的求法（1）求特征方程＝0的全部根，即得A的全部特征值（2）對(duì)于每—個(gè)特征值，解它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的全部非零解。即得關(guān)于的全部特征向量．例5.1.3求矩陣的特征值與特征向量.

2、解得特征值當(dāng)時(shí),解方程由得基礎(chǔ)解系全部特征向量為當(dāng)時(shí),解方程由得基礎(chǔ)解系全部特征向量為例5.1.4求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時(shí),解方程得基礎(chǔ)解系全部特征向量為當(dāng)時(shí),解方程得基礎(chǔ)解系全部特征向量為注意在例5.1.4與例5.1..3中,特征方程的重根所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù).定理如果A是n階矩陣,入是A的m重特征值，則屬于入的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過m個(gè)．例5.1.5如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設(shè)兩邊左乘矩陣,得由此可得因?yàn)樗杂械萌羰恰勺C明過程可得結(jié)論,是的特征值,則的特征值.進(jìn)而是的特征值例5.1.6設(shè)n階方陣A

3、滿足（為正交矩陣），則的特征值必為1或-1證明：設(shè)為的特征值，且對(duì)上式兩邊左乘再對(duì)其兩邊左乘由此但，則或有關(guān)結(jié)論：已知　　　　　　為A的一個(gè)特征值，則（1）　　　　　必有一個(gè)特征值為;（2）　　　　　必有一個(gè)特征值為;（3）A可逆時(shí)，　必有一個(gè)特征值為;（4）A可逆時(shí)，　必有一個(gè)特征值為.（5）　　則　　必有一個(gè)特征值為.有關(guān)結(jié)論：已知　　　　　　為A的一個(gè)特征值，則(6)與A有相同的特征值（因?yàn)樗鼈冇邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式）另一方面，由行列式定義比較上面兩個(gè)式子可得3.兩個(gè)有用公式(特征方程根與系數(shù)的關(guān)系)稱為的跡.這里特別地，若A是n階矩陣，且r(A)=1,則例：設(shè)A是三階

4、矩陣，它的特征值是一1，0，4．又知A十B＝2E，求B的特征值.B的特征值是3，2，一2．1．已知3階矩陣A的特征值是1，一2，3，則的特征值是——2.設(shè)A是3階可逆矩陣，其逆矩陣的特征值為1/2，1/3，1/4·則行列式＝——·習(xí)題＝(一1)(一2)(一3)=一6．44．已知3階矩陣A的特征值是1，2，一1．設(shè)矩陣-2885.D提示：用定義提示1.相似矩陣概念2.相似矩陣基本性質(zhì)3.方陣的對(duì)角化含義4.矩陣可對(duì)角化的條件第5.2節(jié)相似矩陣和矩陣對(duì)角化定義設(shè)都是階方陣,若有可逆矩陣使則稱是的相似矩陣,或說相似.稱為把變成的相似變換矩陣.※①這時(shí)也是的相似矩陣:②相似等價(jià).

5、1.相似矩陣概念如果A與對(duì)角陣相似，則稱A可對(duì)角化基本性質(zhì)(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.(5)相似矩陣有相同的特征值.2.相似矩陣基本性質(zhì)證明設(shè)矩陣A與B相似,即有P-1AP=B(1)(2)顯然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及跡的定義即得.注意：若（），即是A的屬于的特征向量，，由于：從而是的屬于的特征向量。由此可見相似矩陣屬于同一特征值的特征向量往往是不同的例5.2.1已知與相似,求x,y.解因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?故與有相同的特征值2,y,-1.根據(jù)特征方程根與系數(shù)的

6、關(guān)系,有而故x=0,y=1.課堂練習(xí)定理：設(shè)A,B都是n階方陣，且A與B相似，即，則(1)若A,B均可逆，則(2)（k為正整數(shù)）。（3）若是m次多項(xiàng)式，則證明：由知，存在可逆矩陣P，使得(1)（2）即（k為正整數(shù)）（3）從而階方陣定理(充要條件)可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.所謂方陣可以對(duì)角化,是指?相似.即存在可逆矩陣使成立.3.矩陣可對(duì)角化的條件證明設(shè)得到即是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.因可逆,故線性無關(guān).設(shè)線性無關(guān).記則因線性無關(guān),故可逆,即可對(duì)角化.推論(充分條件)若A的n個(gè)特征值互不相等,則A與對(duì)角陣相似(可對(duì)角化).逆不成立,即與對(duì)角陣相似的矩陣,特征值不一定

7、互不相等.①如果A有k對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)(幾何重?cái)?shù))相等,則A一定可對(duì)角化.關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)少于k則A一定不能對(duì)角化.②如果A有一個(gè)k重特征值,并且所對(duì)應(yīng)的線性無重特征值,只要重?cái)?shù)(代數(shù)重?cái)?shù))和所推論2注意：從上面定理的證明過程可知：若A能與對(duì)角陣相似，則（1）與A相似的對(duì)角陣的主對(duì)角線上的元素恰好就是A的n個(gè)特征值（2）中的各列恰好就是A的屬于的特征向量是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求可逆陣P．因?yàn)锳有3個(gè)不同的特征值，故可對(duì)角化注意：由于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一，則可逆陣P不是唯一的。另外，由于P中的列向量