第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀性1

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1、第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀性§4-1問題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入—輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量便可以受控，且輸出量總是可以被測(cè)量的，因而不需要提出可控性和可觀性的概念。現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入引起狀態(tài)的變化過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出的變化?？煽匦院涂捎^性正是定性地分別描述輸入對(duì)狀態(tài)的控制能力，輸出對(duì)狀態(tài)的反映能力。它們分別回答：“輸入能否控制狀態(tài)的變化”——可控性“狀態(tài)的變化能否由輸出反映出來”——可觀性可控性和可觀性是卡爾曼（Kalman）在1960年首先提出來

2、的?？煽匦院涂捎^性的概念在現(xiàn)代控制理論中無論是理論上還是實(shí)踐上都是非常重要的。例如：在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋找輸入，使?fàn)顟B(tài)達(dá)到預(yù)期的軌線。就定常系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)的狀態(tài)不受控于輸入，當(dāng)然就無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。另外，為了改善系統(tǒng)的品質(zhì)，在工程上常用狀態(tài)變量作為反饋信息?？墒菭顟B(tài)的值通常是難以測(cè)取的，往往需要從測(cè)量到的中估計(jì)出狀態(tài)；如果輸出不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)，那么就無法實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的估計(jì)。狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。判別系統(tǒng)的可控性和可觀性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達(dá)式?！纠纭浚?）分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程來看，輸入u不能控制狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變

3、量是不可控的；從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量，所以狀態(tài)變量是不能觀測(cè)的。即狀態(tài)變量不可控、可觀測(cè)；狀態(tài)變量可控、不可觀測(cè)。4-1522u（2）分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：由于狀態(tài)變量、都受控于輸入u，所以系統(tǒng)是可控的；輸出y能反映狀態(tài)變量，又能反映狀態(tài)變量的變化，所以系統(tǒng)是可觀測(cè)的。即狀態(tài)變量可控、可觀測(cè)；狀態(tài)變量可控、可觀測(cè)。2u（3）分析：上述動(dòng)態(tài)方程寫成方程組形式：從狀態(tài)方程看，輸入u能對(duì)狀態(tài)變量、施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是可控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量，的變化，似乎系統(tǒng)是可觀測(cè)的。實(shí)際上，這個(gè)系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量既不是完全可控的，也不是

4、完全可觀測(cè)的。要解釋和說明這一情況，就必須首先弄清楚可控性和可觀性的嚴(yán)格定義及判別方法。4-15§4-2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性的定義定義4.1（狀態(tài)可控性定義）：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是可控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是可控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控的。關(guān)于可控性定義的說明：（1）上述定義可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明。假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點(diǎn)是可控狀態(tài)。假如可控狀態(tài)“充滿”整個(gè)狀態(tài)空

5、間，即對(duì)于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入，使得在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全可控。PP3P1P2PnP40x1x2可控狀態(tài)的圖形說明（2）在可控性定義中，把系統(tǒng)的初始狀態(tài)取為狀態(tài)空間中的任意有限點(diǎn)，而終端狀態(tài)也規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學(xué)處理，而又不失一般性，我們把上面的可控性定義分兩種情況敘述：①把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，而終端目標(biāo)規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)。于是原可控性定義可表述為：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意

6、非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控的。②把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即4-15，終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點(diǎn)，則可達(dá)定義表述如下：對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一指定的非零終端狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全可達(dá)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可達(dá)的（能達(dá)的）。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，可控性和可達(dá)性是等價(jià)的；在以后對(duì)可控性的討論中，均規(guī)定目標(biāo)狀態(tài)為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)，并且我們所關(guān)心的，只是是否存在某個(gè)分段連續(xù)的輸入，能否把任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，并不要求算出具體的輸入和狀態(tài)軌線。二、可控性的判別準(zhǔn)

7、則定理4.1：（可控性秩判據(jù)）對(duì)于n階線性定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：由A、B構(gòu)成的可控性判別矩陣滿秩，即其中，n為該系統(tǒng)的維數(shù)。【例4.2.1】判別下列狀態(tài)方程的可控性。（1）（2）（3）（4）解：（1），，∴系統(tǒng)不可控。（2），，∴系統(tǒng)不可控。4-15（3），，∴系統(tǒng)可控。（4），，∴系統(tǒng)不可控。定理4.2：設(shè)線性定常系統(tǒng)，具有互不相同的實(shí)特征值，則其狀態(tài)完全可控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型中，陣不存在全零行。非奇異線性變換的不變特性：（1）線性變換