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《一道習題的變式與反思》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、探索角例1如圖1所示，、分別是中和的平分線。圖1試說明。分析：可以先在中，得到，然后再將，代入，就可以用、表示，最后用代換，從而確定與的關(guān)系。解：∵、分別平分和，∴，，在中，，∴，在中，，∴。圖2說明：（1）此題中與之間的關(guān)系并不明朗，解題過程中，要充分利用已知條件，步步轉(zhuǎn)化，最終將與之間的間接關(guān)系轉(zhuǎn)化為直接關(guān)系。（2）此題另一關(guān)鍵是將與看成一個整體進行變形，這種整體思想也是數(shù)學中基本思想方法。變式一：如圖2所示，、分別是的兩外角平分線，試說明。-6-圖3變式二：如圖3所示，①，，則；②，，則與是什么關(guān)系呢？例2如圖4所示，已知，請解
2、答下列問題：（1）圖（1）中、、之間具有什么關(guān)系？并說明理由。（2）圖（2）中的5個角具有什么關(guān)系？（3）圖（3）中的7個角具有什么關(guān)系？你能得出什么一般性質(zhì)結(jié)論。圖4（1）（2）（3）分析：（1）由，不能直接得到、、之間的關(guān)系，因此需要添加輔助線，過點作，就可以運用兩直線平行的性質(zhì)。（2）可類似（1）的思路進行解答。（3）分析（1）、（2）兩小題的結(jié)果，尋找一般規(guī)律，再歸納出一般結(jié)論。圖5解：（1）如圖5所示，過點作，∵，∴,∴，，∴，即（2）圖4（2）5個角的關(guān)系是，同樣可用作平行線的方法說明理由（請同學們自已動手解決）。-6-（
3、3）圖4（3）中7個角的關(guān)系是。由此可得一般性結(jié)論：奇數(shù)號角之和等于偶數(shù)數(shù)號之和。例3如圖6所示，在中，平分，平分的外角，與交于點，（1）①，②，③，分別求的度數(shù)。（2）根據(jù)以上求解的過程，你發(fā)現(xiàn)與之間有什么關(guān)系？（3）如圖7所示，在中，，延長到，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，依此類推，與的角平分線交于點，則的度數(shù)是多少？圖6請同學們自己思考解決圖6參考答案：變式二：例3（1）；；。（2）。（3）。由一道習題所想到的-6-解題是創(chuàng)造性的思維活動，因此，同學們不要小看每一個解題過程，在解答數(shù)學習題的時候要充分挖掘習題的可變性，
4、從不同的層次、角度思考進行一題多變，這樣對拓寬同學們的思維視野，培養(yǎng)大家學習數(shù)學的積極性和創(chuàng)造性、發(fā)展智力是大有裨益的．例如：題目：已知，如圖1，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點O，過O做DE∥BC交AB于D，交AC于E.求證：（1）∠BOC+∠A；（2）DE=BD+CE.解析：(1)因為，OB平分∠ABC，所以，∠2=∠ABC；123456ADBCEO圖1因為，OC分∠ACB，所以，∠4=∠ACB.所以，∠2+∠4=∠ABC+∠ACB=（ABC+∠ACB）=（∠A）=∠A；∠BOC=（∠2+∠4）=（∠A）=+∠A.（2）因為，
5、OB平分∠ABC，所以，∠1=∠2，因為，DE∥BC，所以，∠2=∠3，因此，∠1=∠3，所以，DB=DO.同理，EC=EO.所以，DE=DO+OE=BD+CE.解答完畢，我們不要草草收兵，要進行解題后的再反思，這樣做可以提高大家的數(shù)學水平．反思1：這里的∠BOC是△ABC兩內(nèi)角平分線的交角，它和∠A的關(guān)系是∠BOC=+∠A．如果是△ABC兩條外平分線的交角，還是否有這種關(guān)系呢？如果是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的交角，那么這種關(guān)系還是否成立呢？我們不妨簡單證明一下：如圖2、3中∠BOC與∠A的關(guān)系并不滿足-6-ABCEO
6、12圖2ABCDO12圖3∠BOC=+∠A，圖2中，∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=∠A，圖3中，∠BOC與∠A的關(guān)系是∠BOC=∠A．理由如下：如圖2，因為，∠DBC是△ABC的外角，所以，∠DBC=∠A+∠ACB，因為，∠ECB是△ABC的外角，所以，∠ECB=∠A+∠ABC，∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A，因為，OB平分∠DBC，所以，∠DBC=2∠1，因為，OC分∠ECB，所以，∠ECB=2∠2，所以，2∠1+2∠2=∠A，所以，∠1+∠2=+∠A，∠BOC=（∠1+∠2）=（+∠A）=∠A（4）如圖
7、3，因為，∠ACD是△ABC的外角，所以，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD－∠ABC=∠A．因為，OB平分∠ABC，∠ABC=2∠1，OC分∠ACD，所以，∠ACD=2∠2所以，2∠2－2∠1=∠A，所以，∠2－∠1=∠A因為，∠2是△BOC的外角，所以，∠2=∠1+∠BOC，所以，∠2－∠1=∠BOC，所以，∠BOC=∠A．反思2：-6-12345ABCEDEO圖5如果將題目中的兩條內(nèi)角平分線改成兩條外角平分線，或者改成一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，其他的條件不變，那么DE、BD、CE這三條線段之間的關(guān)系是否還成立呢？如圖4和5
8、.123456ABCDOE圖4觀察圖4，這種關(guān)系還是成立的，即,圖5這種關(guān)系是不成立的，但圖5中它們之間的關(guān)系是,理由如下：（5）如圖4，因為OB平分∠DBC，所以，∠1=∠2，因為，DE∥BC，所以，∠2=∠3，所以，
