第二節(jié) 運用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略

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1、第二節(jié)運用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越.考試大綱的說明中強調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識，而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，對數(shù)量關(guān)系問題的研究仍突出代數(shù)的方法而

2、不提倡使用幾何的方法，解答題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查以由‘形’到‘?dāng)?shù)’的轉(zhuǎn)化為主.”考試要求展望2011年高考考查數(shù)形結(jié)合思法，可能會與以下內(nèi)容為載體來命題：①函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；②曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；③以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；④所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.題型一數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用例1.已知且,試求使方程有解的實數(shù)的取值范圍.點撥:利用對數(shù)相等的意義,同時構(gòu)造兩個函數(shù),通過函數(shù)的圖象有沒有交點進而得出方程有沒有解,從而確定出的取值范圍.解：原方程等價于xyol3l2l1圖8-2構(gòu)造曲線,直線從而使

3、問題轉(zhuǎn)化為直線和雙曲線()在軸上半部分有交點，求實數(shù)的取值范圍,如圖8-2所示：有三條臨界直線、、①當(dāng)在和之間時，直線在軸上的截距滿足時，與有一個交點，解之可得②當(dāng)在上方時，直線在軸上的截距滿足客服熱線：025-68801918、68801919-9-學(xué)科王教育資源網(wǎng)時,與有一個交點，解之可得學(xué)科王綜合①②可得，所求的取值范圍是易錯點:解方程時很可能擴大的取值范圍,另外數(shù)形結(jié)合不會利用雙曲線漸近線.變式與引申1:求函數(shù)的值域.題型二數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用學(xué)科王例2.若不等式的解集為區(qū)間,且,學(xué)科王則.點撥：通過數(shù)形結(jié)合的思想把一個解不等式的問題轉(zhuǎn)化為求一

4、條直線與半圓何時有交點.解：令,.其示意圖如圖8-3:若,要滿足,則,此時.從而.若,要滿足,則.則,從而不存在.易錯點：如不能聯(lián)想到直線與圓的圖象,則思維很容易受阻.變式與引申2：已知函數(shù)有兩個零點，則有（）A.B.C.D.題型三數(shù)形結(jié)合在平面向量中的應(yīng)用例3.在中，，G為外心，求的值.點撥:結(jié)合圖形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法則解題.解：如圖8-4所示，設(shè)的中點為，則，且客服熱線：025-68801918、68801919-9-學(xué)科王教育資源網(wǎng).易錯點：不能將表示成，不能發(fā)現(xiàn)與的垂直關(guān)系.變式與引申3：（1）如圖8-5，，點在由射線、線段

5、及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且,則的取值范圍是；當(dāng)時,的取值范圍是.CAOMBND圖8-6（2）如圖8-6，是半圓的直徑，是三等分點，是線段的三等分點.若,則的值是（）A.34B.26C.10D.2題型四數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例4.求函數(shù)最小值.點撥：由題意可知，函數(shù)的定義域為，若從代數(shù)角度考慮，確實比較復(fù)雜；若借助兩點間的距離公式，轉(zhuǎn)化為幾何問題，則非常容易解決解：令,,則問題化為:在軸求一點,使得取最小值客服熱線：025-68801918、68801919-9-學(xué)科王教育資源網(wǎng)xyA(0,1)B(2,2)圖8-7關(guān)于軸的對稱點為易錯

6、點：如果用代數(shù)方法（如兩邊平方等）去求解問題，往往會陷入其中，不得其解.而將代數(shù)問題幾何化則使問題變得容易解決.變式與引申4：已知，則的大小關(guān)系是（）.A.B.C.D.本節(jié)主要考查：數(shù)形結(jié)合思想一方面考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的符號語言、圖形語言的理解能力，另一方面考查學(xué)生的構(gòu)圖能力以及對圖形的想象能力、綜合應(yīng)用知識等能力.學(xué)科王點評:（1）數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化,“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深

7、刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).學(xué)科王（2）函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識平臺.（3）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題.用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”.（4）是否選擇應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的原則是：是否有利于解決問題，用最簡單的辦法解決問題為最終目的.客服熱線：025-688019

8、18、68801919-9-學(xué)科王教育資源網(wǎng)習(xí)題8-21.若對一切